Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

h
(1)
n
(kr)
h
(2)
n
(kr)
h
(1)
n
(kr)
h
(2)
n
(kr)
u
n
(r, θ, ϕ) = h
(1)
n
(kr)Y
n
(θ, ϕ) = h
(1)
n
(kr)
n
X
m=−n
a
m
n
Y
m
n
(θ, ϕ),
a
m
n
n
n
n = 0
n = 1
n = 2
∞
X
n=0
h
(1)
n
(kr)Y
n
(θ, ϕ) ≡
∞
X
n=0
h
(1)
n
(kr)
n
X
m=−n
a
m
n
Y
m
n
(θ, ϕ),
a
m
n
r, θ ϕ
S
a
m
n
Íàêîíåö, ïðè ðåøåíèè çàäà÷è èçëó÷åíèÿ â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè òèïà
                                                          (1)
âíåøíîñòè ñåðû ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü òîëüêî óíêöèþ hn (kr), òîãäà
êàê ïðè ðåøåíèè çàäà÷è î ïàäåíèè ïðèõîäÿùåé èç áåñêîíå÷íîñòè âîëíû
                                                      (2)
íà ýòó ñåðó ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî óíêöèþ hn (kr). Ïîñëåäíèå
âûâîäû ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, èñïîëüçóÿ
àñèìïòîòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ öèëèíäðè÷åñêèõ óíêöèé â äàëüíåé çîíå,
                                                  (1)
ïðèâåäåííûå, íàïðèìåð â [37, 56℄, èìåííî óíêöèÿ hn (kr) óäîâëåòâîðÿåò
                                             (2)
óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ (4.3), òîãäà êàê óíêöèÿ hn (kr) óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèÿì èçëó÷åíèÿ, ïîëó÷àþùèìñÿ èç (4.3) çàìåíîé çíàêà ìèíóñ âî âòîðîì
ñîîòíîøåíèè íà ïëþñ.
  4.6. åøåíèå óðàâíåíèÿ            åëüìãîëüöà â ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíà-
òàõ. Ñåðè÷åñêèå âîëíû.     Èç èçëîæåííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò,
÷òî ëþáîå ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ åëüìãîëüöà â ñåðè÷åñêèõ êîîð-
äèíàòàõ, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ (4.3), ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
                                                        n
                                                        X
      un (r, θ, ϕ) =   h(1)
                        n (kr)Yn (θ, ϕ)   =   h(1)
                                               n (kr)          am  m
                                                                n Yn (θ, ϕ),   (4.46)
                                                        m=−n

     n  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïî ñâîåìó èçè÷åñêîìó ñìûñëó óíê-
ãäå am
öèÿ (4.46) îïèñûâàåò ðàñõîäÿùóþñÿ âîëíó ñî ñåðè÷åñêèì ðîíòîì, êî-
òîðóþ ïðèíÿòî íàçûâàòü ñåðè÷åñêîé âîëíîé n-ãî ïîðÿäêà. Êàæäîé òàêîé
âîëíå îòâå÷àåò ñâîé èñòî÷íèê, íàçûâàåìûé ñåðè÷åñêèì èñòî÷íèêîì n-ãî
ïîðÿäêà.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà n = 0, óêàçàííûé èñòî÷íèê íîñèò íàçâà-
íèå ïóëüñèðóþùåé ñåðû; ïðè n = 1 ïîëó÷àåì îñöèëëèðóþùóþ ñåðó, ò. å.
ñåðó, ãàðìîíè÷åñêè êîëåáëþùóþñÿ âäîëü èêñèðîâàííîãî íàïðàâëåíèÿ;
ñëó÷àé n = 2 îòâå÷àåò òàê íàçûâàåìîìó êâàäðóïîëüíîìó ñåðè÷åñêîìó èñ-
òî÷íèêó è ò. ä. Áîëåå ïîäðîáíóþ èíîðìàöèþ î ðàçëè÷íûõ ñåðè÷åñêèõ
èñòî÷íèêàõ è èõ èçè÷åñêîì ñìûñëå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå [21℄.
    ñèëó ëèíåéíîñòè è îäíîðîäíîñòè óðàâíåíèÿ (4.1) áåñêîíå÷íàÿ ñóììà
÷àñòíûõ ðåøåíèé (4.46), ò. å. ðÿä
            ∞
            X                           ∞
                                        X               n
                                                        X
                  h(1)
                   n (kr)Yn(θ, ϕ)   ≡         h(1)
                                               n (kr)          am  m
                                                                n Yn (θ, ϕ),   (4.47)
            n=0                         n=0             m=−n

ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ am   n òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
(4.1). Ýòîò âûâîä, êîíå÷íî, ñïðàâåäëèâ ïðè óñëîâèè, ÷òî ðÿä (4.47) ìîæ-
íî äâàæäû ïî÷ëåííî äèåðåíöèðîâàòü ïî r, θ è ϕ, ïðè÷åì ðÿä (4.47) è
ðÿäû, ïîëó÷åííûå åãî ïî÷ëåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì, ðàâíîìåðíî ñõî-
äÿòñÿ âíå S .
   Âûáåðåì äàëåå ïîñòîÿííûå am  n òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óíêöèÿ (4.47)
óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (4.2), ãäå äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü,

                                          57

Страницы