Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

{1, cos ϕ, sin ϕ, ..., cos mϕ, sin mϕ, ...}
L
2
(0, 2π) L
2
(−1, 1)
{P
m
n
(x)}
∞
n=m
m ≥ 0
L
2
(S
1
)
{Y
m
n
(θ, ϕ), n = 0, 1, ...; m = 0, ±1, ..., ±n}.
L
2
(S
1
)
g ∈ L
2
(S
1
)
Y
m
n
g(θ, ϕ) =
∞
X
n=0
Y
n
(θ, ϕ) =
∞
X
n=0
n
X
m=−n
c
m
n
Y
m
n
(θ, ϕ),
g L
2
(S
1
) c
m
n
Y
l
k
(θ, ϕ)
S
1
{Y
l
k
}
c
m
n
=
(2n + 1)
2πε
m
(n − |m|)!
(n + |m|)!
π
Z
0
2π
Z
0
g(θ, ϕ)Y
m
n
(θ, ϕ) sin θdθdϕ.
u
n
n S
1
⊂ R
3
n
n u
n
n
∆u
n
= 0 R
3
.
2n+1
u
m
n
n m = 0, ±1, ... , ±n
u
m
n
(r, θ, ϕ) = r
n
Y
m
n
(θ, ϕ), n = 0, 1, ... , |m| ≤ n,
  Èç îðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû

                   {1, cos ϕ, sin ϕ, ..., cos mϕ, sin mϕ, ...}
â L2 (0, 2π) è îðòîãîíàëüíîñòè è ïîëíîòû â L2 (−1, 1) ñèñòåìû ïðèñîåäèíåí-
íûõ óíêöèé Ëåæàíäðà {Pnm (x)}∞    n=m ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì m ≥ 0
(ñì. âûøå) ñëåäóåò îðòîãîíàëüíîñòü è ïîëíîòà â L2 (S1 ) ñèñòåìû ñåðè÷å-
ñêèõ óíêöèé

                {Ynm(θ, ϕ), n = 0, 1, ...; m = 0, ±1, ..., ±n}.             (4.38)

(Îðòîãîíàëüíîñòü ñèñòåìû (4.38) â L2 (S1 ) ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, à
ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû ìîæíî íàéòè â [11, ñ. 384℄ è [56, ñ. 727℄).
Ñ ó÷åòîì óêàçàííûõ ñâîéñòâ ñèñòåìû (4.38) ëþáóþ óíêöèþ g ∈ L2 (S1 )
ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå ïî óíêöèÿì Ynm :
                           ∞
                           X                     ∞ X
                                                 X n
               g(θ, ϕ) =         Yn (θ, ϕ) =                cm  m
                                                             n Yn (θ, ϕ),   (4.39)
                           n=0                   n=0 m=−n

ñõîäÿùèéñÿ ê g â L2 (S1 ). ×òîáû îïðåäåëèòü êîýèöèåíòû cm
                                                          n ýòîãî ðàç-
ëîæåíèÿ, äîñòàòî÷íî óìíîæèòü ðÿä (4.39) íà óíêöèþ Yk (θ, ϕ), ïðîèí-
                                                        l

òåãðèðîâàòü ïî S1 è âîñïîëüçîâàòüñÿ îðòîãîíàëüíîñòüþ ñèñòåìû {Ykl } è
îðìóëîé (4.37).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
                                    Zπ Z2π
            (2n + 1) (n − |m|)!
       cm
        n =                                  g(θ, ϕ)Ynm(θ, ϕ) sin θdθdϕ.    (4.40)
              2πεm (n + |m|)!
                                    0   0

  Çàìå÷àíèå 4.1.  íåêîòîðûõ ó÷åáíèêàõ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå,
êàê, íàïðèìåð, â [11, ñ. 387℄, ïîä ñåðè÷åñêîé óíêöèåé ïîíèìàåòñÿ ñóæå-
íèå øàðîâîé óíêöèè un ïîðÿäêà n íà ñåðó S1 ⊂ R3 . Ïðè ýòîì ïîä
øàðîâîé óíêöèåé ïîðÿäêà n ïîíèìàþò îäíîðîäíûé ãàðìîíè÷åñêèé ïîëè-
íîì ñòåïåíè n, ò. å. îäíîðîäíûé ïîëèíîì un ñòåïåíè n, óäîâëåòâîðÿþùèé
óðàâíåíèþ Ëàïëàñà
                               ∆un = 0 â R3 .
Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [11℄), ÷òî òàêîå îïðåäåëåíèå ñåðè÷åñêîé
óíêöèè ýêâèâàëåíòíî ââåäåííîìó âûøå, è ÷òî ñóùåñòâóåò ðîâíî 2n+1 ëè-
íåéíî íåçàâèñèìûõ øàðîâûõ óíêöèé um   n ïîðÿäêà n, ãäå m = 0, ±1, ... , ±n.
Ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâà îðìóëà

             um              n m
              n (r, θ, ϕ) = r Yn (θ, ϕ), n = 0, 1, ... , |m| ≤ n,           (4.41)

óñòàíàâëèâàþùàÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó êëàññîì âñåõ
øàðîâûõ è ñåðè÷åñêèõ óíêöèé.

                                            55

Страницы