Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

cosmϕ sinmϕ
Y
0
n
≡ P
n
(cosθ) ϕ
P
n
n (−1, 1) S
1
n+1 Y
0
n
S
1
n m m
Y
m
n
n
Y
n
(θ, ϕ) =
n
X
m=0
(a
mn
cos mϕ + b
mn
sin mϕ)P
m
n
(cos θ),
a
mn
b
mn
Y
n
(θ, ϕ) =
n
X
m=−n
c
m
n
Y
m
n
(θ, ϕ), c
m
n
=
a
mn
,
m ≤ 0,
b
mn
,
m > 0
λ = λ
n
n
L
2
(S
1
) kY
m
n
k ≡
R
S
1
[Y
m
n
]
2
dσ
Y
m
n
2π
Z
0
cos
2
mϕdϕ =
2π
Z
0
sin
2
mϕdϕ = πε
m
, ε
m
=
2, m = 0,
1, m 6= 0,
kY
m
n
k
2
=
π
Z
0
2π
Z
0
[Y
m
n
(θ, ϕ)]
2
sin θdθdϕ =
1
Z
−1
[P
|m|
n
(x)]
2
dx
2π
Z
0
cos
2
mϕ
sin
2
mϕ
dϕ ⇒
kY
m
n
k
2
=
2πε
m
(2n + 1)
(n + |m|)!
(n − |m|)!
.
õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî ëèíåéíî íåçàâèñèìû óíêöèè cosmϕ è sinmϕ. Ïðè
ýòîì óíêöèè Yn0 ≡ Pn (cosθ), íå çàâèñÿùèå îò óãëà ϕ, íàçûâàþòñÿ çîíàëü-
íûìè ñåðè÷åñêèìè óíêöèÿìè.
   Òàêîå íàçâàíèå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî â ñèëó ñâîéñòâà ïîëèíîìà Ëåæàíä-
ðà Pn èìåòü ðîâíî n íóëåé âíóòðè èíòåðâàëà (−1, 1) ñåðó S1 ìîæíî ðàç-
áèòü íà n +1 øèðîòíûõ çîí, âíóòðè êîòîðûõ çîíàëüíàÿ óíêöèÿ Yn0 ñîõðà-
íÿåò çíàê. Îñòàëüíûå ñåðè÷åñêèå óíêöèè íîñÿò íàçâàíèå òåññåðåëüíûõ.
Ïîñëåäíåå íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñåðó S1 ìîæíî ðàçáèòü íà
êëåòêè (tessera) ñ ïîìîùüþ nm ïàðàëëåëåé è m ðàâíîîòñòîÿùèõ ìåðè-
äèàíîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òî óíêöèÿ Ynm ñîõðàíÿåò çíàê â êàæäîé èç íèõ
è ìåíÿåò åãî ïðè ïåðåñå÷åíèè ãðàíèöû êëåòêè (èìåþùåé, òàêèì îáðàçîì,
ñìûñë óçëîâîé ëèíèè). Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ëèíåéíîñòè è îäíî-
ðîäíîñòè óðàâíåíèÿ (4.8) ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óíäàìåíòàëüíûõ
ñåðè÷åñêèõ óíêöèé ïîðÿäêà n
                              n
                              X
                Yn (θ, ϕ) =        (amn cos mϕ + bmn sin mϕ)Pnm (cos θ),           (4.36)
                              m=0

ãäå amn è bmn  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, èëè
                     n
                                                                   ïðè m ≤ 0,
                                           
                     X
                         m m           m     amn ,
         Yn (θ, ϕ) =    cn Yn (θ, ϕ), cn =
                                             bmn ,                 ïðè m > 0
                         m=−n

òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4.8) ïðè λ = λn è, ñëåäîâàòåëüíî,
ÿâëÿåòñÿ ñåðè÷åñêîé óíêöèåé. Óêàçàííóþ óíêöèþ (4.35) òàêæå íàçû-
âàþò ñåðè÷åñêîé óíêöèåé èëè (ïî èñòîðè÷åñêèì ïðè÷èíàì) ñåðè÷åñêîé
ãàðìîíèêîé ïîðÿäêà n.
   Ïîäñ÷èòàåì L2 (S1 )  íîðìó kYnmk ≡ [Ynm]2 dσ ñåðè÷åñêîé óíêöèè
                                      R
                                                     S1
Ynm . Ó÷èòûâàÿ î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî
        Z2π                    Z2π                                 
                     2                 2                               2, m = 0,
                cos mϕdϕ =           sin mϕdϕ = πεm , εm =
                                                                       1, m =
                                                                            6 0,
        0                      0

è äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ (4.11), èìååì
         Zπ Z2π                        Z1              Z2π     2
                                                                     
                                                             cos  mϕ
kYnmk2 =       [Ynm(θ, ϕ)]2 sin θdθdϕ = [Pn|m| (x)]2dx                 dϕ ⇒
                                                             sin2 mϕ
            0    0                              −1                 0

                                             2πεm (n + |m|)!
                              kYnmk2 =                         .                   (4.37)
                                           (2n + 1) (n − |m|)!
                                               54

Страницы