Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 56 стр.

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ДВФУ | Владивосток

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λ λ
n
= n(n + 1)
r
2
R
′′
+ 2rR
′
+ [k
2
r
2
− n(n + 1)]R = 0.
z = kr, w(z) = R(r)
√
z
z
2
w
′′
+ zw
′
+ (z
2
− ν
2
)w = 0, ν = n + 1/2.
ν
J
ν
(z)
N
ν
(z) H
(1)
ν
(z) H
(2)
ν
(z)
j
n
(kr) =
r
π
2kr
J
n+1/2
(kr), y
n
(kr) =
r
π
2kr
N
n+1/2
(kr),
h
(1)
n
(kr) =
r
π
2kr
H
(1)
n+1/2
(kr), h
(2)
n
(kr) =
r
π
2kr
H
(2)
n+1/2
(kr),
p
π/2
ν = n + 1/2
h
(1)
n
h
(2)
n
j
n
y
n
h
(1)
n
(kr) = j
n
(kr) + iy
n
(kr),
h
(2)
n
(kr) = j
n
(kr) − iy
n
(kr),
j
n
  4.5. Ñåðè÷åñêèå óíêöèè Áåññåëÿ, Íåéìàíà è Õàíêåëÿ.          Îá-
ðàòèìñÿ òåïåðü ê óðàâíåíèþ (4.7) è çàìåíèì â íåì λ íà λn = n(n + 1).
Ïîëó÷èì
                 r2 R′′ + 2rR′ + [k 2r2 − n(n + 1)]R = 0.     (4.42)
Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè
                                             √
                          z = kr, w(z) = R(r) z                       (4.43)
ïåðåïèøåì (4.42) â âèäå
                z 2 w′′ + zw′ + (z 2 − ν 2)w = 0, ν = n + 1/2.        (4.44)
Óðàâíåíèå (4.44) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå Áåññåëÿ ïîðÿäêà ν , à åãî
ðåøåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèå óíêöèè Áåññåëÿ Jν (z), Íåéìàíà
                     (1)             (2)
Nν (z) è Õàíêåëÿ Hν (z) (ëèáî Hν (z)) ïåðâîãî (ëèáî âòîðîãî) ðîäà. Äå-
ëàÿ îáðàòíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ, çàêëþ÷àåì, ÷òî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ
(4.42) ÿâëÿþòñÿ óíêöèè
                  r                            r
                     π                            π
        jn (kr) =        Jn+1/2(kr), yn (kr) =       Nn+1/2(kr),      (4.45)
                    2kr                          2kr
                    r                              r
                         π    (1)                     π (2)
          h(1)
           n (kr) =        Hn+1/2(kr), h(2)
                                          n (kr) =       H      (kr),
                       2kr                           2kr n+1/2
íàçûâàåìûå, ñîîòâåòñòâåííî, ñåðè÷åñêèìè óíêöèÿìè Áåññåëÿ, Íåéìà-
íà è Õàíêåëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. (Íåñóùåñòâåííûé ìíîæèòåëü π/2
                                                                      p
ïåðåä óíêöèÿìè â (4.45) ñëóæèò äëÿ èõ íîðìèðîâêè).
   Èç îðìóë (3.57) ïðè ν = n + 1/2
è (4.45) (ñì. òàêæå [11, . 358℄) âûòå-
                     (1)    (2)
êàåò, ÷òî óíêöèè hn è hn ñâÿçàíû
ñ óíêöèÿìè jn è yn ñîîòíîøåíèÿìè

    h(1)
     n (kr) = jn (kr) + iyn (kr),

    h(2)
     n (kr) = jn (kr) − iyn (kr),
àíàëîãè÷íûìè ñîîòâåòñòâóþùèì ñî-
îòíîøåíèÿì äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ óíê-
öèé Áåññåëÿ, Íåéìàíà è Õàíêåëÿ. Óêà-
çàííàÿ àíàëîãèÿ ïîäñêàçûâàåò, ÷òî
óíêöèþ jn ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðè
                                                èñ.îáëàñòè,
                                                     4.2.
ðåøåíèè çàäà÷è èçëó÷åíèÿ âîëí âíóòðè îãðàíè÷åííîé            ñîäåðæà-
ùåé íà÷àëî êîîðäèíàò. Ëþáóþ ïàðó óíêöèé, âõîäÿùèõ â (4.45), ìîæ-
íî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷è èçëó÷åíèÿ â äâóõñâÿçíîé îãðàíè÷åí-
íîé îáëàñòè òèïà ñåðè÷åñêîé ïîëîñòè, íå ñîäåðæàùåé íà÷àëî êîîðäèíàò.

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