Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

α = const ≥ 0, β = const ≥ 0 α + β 6= 0.
g
Y
m
n
c
m
n
∂u/∂n = ∂u/∂r
r = a
∂u
∂r
= k
∞
X
n=0
(h
(1)
n
)
′
(kr)
n
X
m=−n
a
m
n
Y
m
n
(θ, ϕ),
αu + β
∂u
∂n
=
∞
X
n=0
h
αh
(1)
n
(ka) + kβh
(1)
′
n
(ka)
i
n
X
m=−n
a
m
n
Y
m
n
(θ, ϕ).
a
m
n
c
m
n
g
a
m
n
=
c
m
n
αh
(1)
n
(ka) + kβh
(1)
′
n
(ka)
.
a
m
n
g
g ∈ C
3
(S)
D S
D g ∈ C
3
(S)
÷òî
              α = const ≥ 0, β = const ≥ 0 è α + β 6= 0.           (4.48)
Ñ ýòîé öåëüþ, ïðåäïîëàãàÿ ïðàâóþ ÷àñòü g â (4.2) äîñòàòî÷íî ãëàäêîé,
ðàçëîæèì åå â ðÿä (4.39) ïî ñåðè÷åñêèì óíêöèÿì Ynm , êîýèöèåíòû
 n êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëîé (4.40). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ∂u/∂n = ∂u/∂r
cm
ïðè r = a è ÷òî
                         ∞              n
                  ∂u    X
                              (1) ′
                                        X
                     =k     (hn ) (kr)      am  m
                                             n Yn (θ, ϕ),          (4.49)
                  ∂r    n=0            m=−n

èìååì
               X∞ h                       n
            ∂u         (1)         (1)′
                                          i X
     αu + β     =    αhn (ka) + kβhn (ka)       am  m
                                                 n Yn (θ, ϕ).      (4.50)
            ∂n     n=0                     m=−n

Ñðàâíèâàÿ (4.50) è (4.39), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ãðàíè÷íîå óñëîâèå (4.2)
óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè êîýèöèåíòû am  n ðÿäà (4.47) ñâÿçàíû ñ êîýèöè-
åíòàìè Ôóðüå cn ðàçëîæåíèÿ (4.39) ãðàíè÷íîé óíêöèè g ñîîòíîøåíèÿìè
              m


                                            cm
                                             n
                      am
                       n   =     (1)             (1)′
                                                        .          (4.51)
                               αhn (ka) + kβhn (ka)
Òåì ñàìûì ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (4.1)(4.3) (îðìàëüíî) ïîñòðîåíî. Îíî
èìååò âèä ðÿäà (4.47), êîýèöèåíòû am  n êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ îðìó-
ëàìè (4.51). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé óíêöèè g (íà-
ïðèìåð, äëÿ g ∈ C 3 (S)) ðÿä (4.47) ñ êîýèöèåíòàìè (4.51) ðàâíîìåðíî
ñõîäèòñÿ âî âíåøíîñòè D ñåðû S , è åãî ìîæíî ïî÷ëåííî äâàæäû äèå-
ðåíöèðîâàòü ïî âñåì ïåðåìåííûì âíóòðè D. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ g ∈ C 3 (S)
ðÿä (4.47) ñ êîýèöèåíòàìè (4.51) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðå-
øåíèåì çàäà÷è (4.1)(4.3). Î èçè÷åñêîì ñìûñëå ðåøåíèÿ (4.47) è åãî ñî-
ñòàâëÿþùèõ ãàðìîíèê áîëåå ïîäðîáíî ìîæíî ïðî÷èòàòü â [21, ñ. 426℄.




                                       58

Страницы