Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C(Q
T
) ϕ
C(Ω) g C(Γ×[0, T ]) f
C(Q
T
)
αu + β
∂u
∂n
Γ
= g
(0, T ].
α β Γ
u Γ
ρ
0
= 1
ρ
∂u
∂t
− div(pgradu) + a · gradu + qu = f.
a ∈ C
1
(Ω)
diva = 0
R
u ∈
C
2,1
(Q
T
) ∩C(Q
T
) Q
T
= (0, l) × (0, T ]
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t)
Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 1.3. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i), (ii). Òîãäà äëÿ êëàññè-
÷åñêîãî ðåøåíèÿ è çàäà÷è Äèðèõëå (1.8), (1.2), (1.3) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
(1.22), îçíà÷àþùàÿ åäèíñòâåííîñòü è íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøå-
íèÿ è â íîðìå C(QT ) îò èñõîäíûõ äàííûõ: íà÷àëüíîé óíêöèè ϕ â íîðìå
C(Ω), ãðàíè÷íîé óíêöèè g â íîðìå C(Γ×[0, T ]) è ïðàâîé ÷àñòè f â íîðìå
C(QT ).
   Ê ñîæàëåíèþ, ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà íå óäàåòñÿ äîêàçàòü
åäèíñòâåííîñòü è óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ îáùåé êðàåâîé çàäà÷è óðàâíåíèÿ
(1.8), ðàññìàòðèâàåìîãî ïðè ñìåøàííûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ âèäà

                                  ∂u
                         αu + β            = g â (0, T ].                (1.23)
                                  ∂n   Γ

Çäåñü α è β  íåêîòîðûå íåïðåðûâíûå íà Γ óíêöèè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì,
÷òî èç óñëîâèÿ âèäà (1.23) íåëüçÿ â îáùåì ñëó÷àå ïîëó÷èòü îöåíêó íà ñàìî
ðåøåíèå u â òî÷êàõ ãðàíèöû Γ. Îäíàêî â ñëó÷àå îáùèõ êðàåâûõ óñëîâèé
âèäà (1.23) åäèíñòâåííîñòü è íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò èñõîä-
íûõ äàííûõ ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ,
ïðè÷åì ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (ñì. Ÿ2 ãë.
4).
    Çàìå÷àíèå 1.3. Îöåíêà (1.22) ïîõîæà ïî ñâîåé ñòðóêòóðå íà îöåíêó
(2.39), ïîëó÷åííóþ äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà (2.66) èç ãë. 2 è ïåðåõîäèò â
íåå ïðè ρ0 = 1. Ýòî íàòàëêèâàåò íà ìûñëü î ñïðàâåäëèâîñòè îöåíêè (1.22)
è äëÿ áîëåå îáùåãî óðàâíåíèÿ äèóçèè-êîíâåêöèè, èìåþùåãî âèä
                    ∂u
                ρ      − div(pgradu) + a · gradu + qu = f.               (1.24)
                    ∂t
Çäåñü a ∈ C 1 (Ω)  ïðîèçâîëüíàÿ âåêòîð-óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëî-
âèþ diva = 0. Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî òåîðåìû 1.2 è
1.3 îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ óðàâíåíèÿ (1.24). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî
äîñëîâíî ïîâòîðèòü ðàññóæäåíèÿ, èñïîëüçóåìûå ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòèõ
òåîðåì, ÷òî ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.


Ÿ2. åøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è â                         R   ìåòîäîì Ôóðüå

   àññìîòðèì â ýòîì ïàðàãðàå ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îäíîìåðíîãî
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè óíêöèè u ∈
C 2,1(QT ) ∩C(QT ), ãäå QT = (0, l) × (0, T ], óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ
                                   2
                            ∂u   2∂ u
                               =a     + f (x, t)                          (2.1)
                            ∂t    ∂x2
                                           66

Страницы