Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Q
T
u
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t),
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= 0 (0, l).
f ∈ C
1
(Q
T
) f(0, t) = f(l, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ]
u
u(x, t) =
∞
X
k=1
T
k
(t) sin
kπx
l
T
k
(t) f
f(x, t) =
∞
X
k=1
f
k
(t) sin
kπx
l
,
f
k
(t) =
2
l
l
Z
0
f(x, t) sin
kπx
l
dx.
∞
X
k=1
"
T
′
k
(t) +
kπa
l
2
T
k
(t) − f
k
(t)
#
sin
kπx
l
= 0.
T
k
T
′
k
(t) + ω
2
k
T
k
(t) = f
k
(t), k = 1, 2, ...,
ω
k
= kπa/l u
u(x, 0) =
∞
X
k=1
T
k
(0) sin
kπx
l
= 0,
  àññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó 3, çàêëþ÷àþùóþñÿ â íàõîæäåíèè â îáëàñòè
QT ðåøåíèÿ u íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
                        ∂u     ∂ 2u
                           = a2 2 + f (x, t),                       (2.17)
                        ∂t     ∂x
óäîâëåòâîðÿþùåãî îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì

                       u|x=0 = 0, u|x=l = 0 â (0, T ]               (2.18)

è îäíîðîäíîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

                              u|t=0 = 0 â (0, l).                   (2.19)

Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
  (ii) f ∈ C 1 (QT ) è f (0, t) = f (l, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ].
  Ñëåäóÿ ñõåìå ìåòîäà Ôóðüå, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå u çàäà÷è 3 â âèäå
ðÿäà
                                         ∞
                                        X              kπx
                            u(x, t) =       Tk (t) sin        (2.20)
                                                        l
                                         k=1
ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (2.8) ñ íåèçâåñòíûìè ïîêà
êîýèöèåíòàìè Tk (t). Ïðàâóþ ÷àñòü f â (2.17) òàêæå ðàçëîæèì â ðÿä
Ôóðüå ïî ñèíóñàì:
                                  ∞
                                  X            kπx
                       f (x, t) =   fk (t) sin     ,            (2.21)
                                                l
                                         k=1
ãäå
                                     Zl
                                 2                       kπx
                        fk (t) =          f (x, t) sin       dx.    (2.22)
                                 l                        l
                                     0
Ïîäñòàâëÿÿ (2.20) è (2.21) â (2.17), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî
             ∞
                "                2                #
            X                 kπa                        kπx
                  Tk′ (t) +          Tk (t) − fk (t) sin     = 0.
                               l                          l
              k=1

Îòñþäà ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äëÿ Tk :

                    Tk′ (t) + ωk2 Tk (t) = fk (t), k = 1, 2, ...,   (2.23)

ãäå ωk = kπa/l. Ïîñêîëüêó â ñèëó íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (2.19) äëÿ u èìååì
                                   ∞
                                   X                   kπx
                       u(x, 0) =          Tk (0) sin       = 0,
                                                        l
                                   k=1

                                           71

Страницы