ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Q
T
u
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ f(x, t),
u|
x=0
= 0, u|
x=l
= 0 (0, T ]
u|
t=0
= 0 (0, l).
f ∈ C
1
(Q
T
) f(0, t) = f(l, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ]
u
u(x, t) =
∞
X
k=1
T
k
(t) sin
kπx
l
T
k
(t) f
f(x, t) =
∞
X
k=1
f
k
(t) sin
kπx
l
,
f
k
(t) =
2
l
l
Z
0
f(x, t) sin
kπx
l
dx.
∞
X
k=1
"
T
′
k
(t) +
kπa
l
2
T
k
(t) − f
k
(t)
#
sin
kπx
l
= 0.
T
k
T
′
k
(t) + ω
2
k
T
k
(t) = f
k
(t), k = 1, 2, ...,
ω
k
= kπa/l u
u(x, 0) =
∞
X
k=1
T
k
(0) sin
kπx
l
= 0,
àññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó 3, çàêëþ÷àþùóþñÿ â íàõîæäåíèè â îáëàñòè QT ðåøåíèÿ u íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ∂u ∂ 2u = a2 2 + f (x, t), (2.17) ∂t ∂x óäîâëåòâîðÿþùåãî îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì u|x=0 = 0, u|x=l = 0 â (0, T ] (2.18) è îäíîðîäíîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ u|t=0 = 0 â (0, l). (2.19) Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (ii) f ∈ C 1 (QT ) è f (0, t) = f (l, t) = 0 ∀t ∈ [0, T ]. Ñëåäóÿ ñõåìå ìåòîäà Ôóðüå, áóäåì èñêàòü ðåøåíèå u çàäà÷è 3 â âèäå ðÿäà ∞ X kπx u(x, t) = Tk (t) sin (2.20) l k=1 ïî ñîáñòâåííûì óíêöèÿì ñïåêòðàëüíîé çàäà÷è (2.8) ñ íåèçâåñòíûìè ïîêà êîýèöèåíòàìè Tk (t). Ïðàâóþ ÷àñòü f â (2.17) òàêæå ðàçëîæèì â ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì: ∞ X kπx f (x, t) = fk (t) sin , (2.21) l k=1 ãäå Zl 2 kπx fk (t) = f (x, t) sin dx. (2.22) l l 0 Ïîäñòàâëÿÿ (2.20) è (2.21) â (2.17), ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî ∞ " 2 # X kπa kπx Tk′ (t) + Tk (t) − fk (t) sin = 0. l l k=1 Îòñþäà ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äëÿ Tk : Tk′ (t) + ωk2 Tk (t) = fk (t), k = 1, 2, ..., (2.23) ãäå ωk = kπa/l. Ïîñêîëüêó â ñèëó íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (2.19) äëÿ u èìååì ∞ X kπx u(x, 0) = Tk (0) sin = 0, l k=1 71
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »