Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v|
t=0
= ϕ(x) ≡ ϕ(x) − w(x, 0), x ∈ (0, l).
v
∂u
∂x
x=0
= 0,
∂u
∂x
x=l
= 0
u
λ
k
X
k
X
′′
+ λX = 0 (0, l), X
′
(0) = X
′
(l) = 0.
λ
k
X
k
§
R
R
Q
T
= (−∞, ∞) × (0, T ] T < ∞ Q
T
= (−∞, ∞) × (0, ∞)
T = ∞ R
u
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
Q
T
0 < T ≤ ∞
u|
t=0
= ϕ(x), −∞ < x < ∞.
ϕ R
T ≤ ∞
(T < ∞) (T = ∞)
Q
T
= (−∞, ∞)×[0, T ] T < ∞ Q
T
= (−∞, ∞ )×[0, ∞)
T = ∞
u ∈ C
2,1
(Q
T
) ∩ C(Q
T
) Q
T
(x, t) ∈ Q
T
x ∈ (−∞, ∞ )
è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
                v|t=0 = ϕ(x) ≡ ϕ(x) − w(x, 0), x ∈ (0, l).          (2.31)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è 1 äîñòàòî÷íî íàéòè ðåøåíèå v âñïî-
ìîãàòåëüíîé çàäà÷è (2.29)(2.31), êîòîðàÿ íàìè óæå ðåøåíà (ñì. çàìå÷àíèå
2.3).
   Çàìå÷àíèå 2.4. Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå ìåòîä Ôóðüå ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ
ðåøåíèÿ äðóãèõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Òàê, íà-
ïðèìåð, â ñëó÷àå êðàåâûõ óñëîâèé Íåéìàíà
                         ∂u                 ∂u
                                    = 0,               =0           (2.32)
                         ∂x   x=0           ∂x   x=l

ðåøåíèå u ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è (2.4), (2.3), (2.32) òàêæå èìååò âèä ðÿäà
(2.12), íî ãäå λk è Xk  ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è óíêöèè ñïåêòðàëüíîé
çàäà÷è
                 X ′′ + λX = 0 â (0, l), X ′ (0) = X ′ (l) = 0.
ßâíûå âûðàæåíèÿ λk è Xk ïðèâåäåíû â § 2 ãë. 4.

Ÿ3. Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â                        R
  3.1. Ïîñòàíîâêà è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè â         R.
Ïóñòü QT = (−∞, ∞) × (0, T ] ïðè T < ∞ è QT = (−∞, ∞) × (0, ∞) ïðè
T = ∞. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â R.
Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
                                       2
                               ∂u    2∂ u
                                  =a                             (3.1)
                               ∂t     ∂x2
â îáëàñòè QT , ãäå 0 < T ≤ ∞, óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
                      u|t=0 = ϕ(x), −∞ < x < ∞.                      (3.2)
Çäåñü ϕ  çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ è îãðàíè÷åííàÿ â R óíêöèÿ. Çàäà÷à (3.1),
(3.2) âîçíèêàåò ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ðÿäà èçè÷åñêèõ ïðî-
öåññîâ, â ÷àñòíîñòè, ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â íåîãðàíè÷åííîì îä-
íîðîäíîì ñòåðæíå, áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî òåïëîèçîëèðîâàíà. Òîò
àêò, ÷òî T ≤ ∞, îçíà÷àåò, ÷òî çàäà÷à (3.1), (3.2) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê íà êîíå÷íîì (T < ∞), òàê è íà áåñêîíå÷íîì (T = ∞) âðåìåííîì èíòåð-
âàëå. Ïîëîæèì QT = (−∞, ∞)×[0, T ] ïðè T < ∞ è QT = (−∞, ∞)×[0, ∞)
ïðè T = ∞.
   Îïðåäåëåíèå 3.1 Êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è (3.1), (3.2) íàçû-
âàåòñÿ óíêöèÿ u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ), îãðàíè÷åííàÿ â QT , óäîâëåòâî-
ðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (3.1) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT è óñëîâèþ (3.2) â
êàæäîé òî÷êå x ∈ (−∞, ∞).

                                       73

Страницы