Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
′
(t)
a
2
T (t)
=
X
′′
(x)
X(x)
= −λ
2
,
λ
2
T X
T
′
(t) + a
2
λ
2
T (t) = 0,
X
′′
(x) + λ
2
X(x) = 0.
X(x) = α λx + β λx,
α β λ
T (t) = e
−a
2
λ
2
t
.
X λ
λ
u
λ
(x, t) = e
−a
2
λ
2
t
[α(λ) λx + β(λ) λx]
Q
T
α(λ)
β(λ)
u(x, t) =
Z
∞
−∞
u
λ
(x, t)dλ =
Z
∞
−∞
e
−a
2
λ
2
t
[α(λ)
λx + β(λ) λx]dλ
Q
T
t x
α(λ) β(λ)
t = 0
ϕ(x) =
Z
∞
−∞
[α(λ)
λx + β(λ) λx]dλ.
ϕ λx λx
α(λ) β(λ)
ϕ
α(λ) =
1
2π
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)
λξdξ, β(λ) =
1
2π
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)
λξdξ.
Ïîäñòàâëÿÿ (3.6) â (3.1) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì
                           T ′ (t)   X ′′ (x)
                           2
                                   =          = −λ2 ,
                          a T (t)    X(x)
ãäå λ2  êîíñòàíòà ðàçäåëåíèÿ. Îòñþäà ïðèõîäèì ê äâóì îáûêíîâåííûì
äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äëÿ T è X :
                           T ′ (t) + a2 λ2 T (t) = 0,                  (3.7)
                        X ′′ (x) + λ2 X(x) = 0.                        (3.8)
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.8) èìååò âèä
                         X(x) = α osλx + β sinλx,                      (3.9)
ãäå ïîñòîÿííûå α è β ìîãóò çàâèñåòü îò λ. åøåíèå óðàâíåíèÿ (3.7) ðàâíî
ïðîèçâåäåíèþ êîíñòàíòû íà óíêöèþ
                                              2 2
                                T (t) = e−a   λ t
                                                    .                 (3.10)
Ïîñêîëüêó êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ óíêöèè X îòñóòñòâóþò, òî ïàðàìåòð λ â
(3.9) è (3.10) ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ýòèì çàäà÷à
Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (3.1) ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåé
êðàåâîé çàäà÷è, äëÿ êîòîðîé ñïåêòðàëüíûé ïàðàìåòð λ ìîæåò ïðèíèìàòü
ëèøü ñ÷åòíîå (äèñêðåòíîå) ìíîæåñòâî çíà÷åíèé.
                                              2 2
   Ïî ïîñòðîåíèþ óíêöèÿ uλ (x, t) = e−a λ t [α(λ) osλx + β(λ)sinλx] ÿâëÿ-
åòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1) â îáëàñòè QT ïðè ëþáûõ α(λ) è
β(λ). Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ èíòåãðàëà
              Z ∞               Z ∞
                                       2 2
   u(x, t) =      uλ (x, t)dλ =     e−a λ t [α(λ) osλx + β(λ)sinλx]dλ (3.11)
             −∞                 −∞
ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â QT è åãî ìîæíî äè-
åðåíöèðîâàòü îäèí ðàç ïî t è äâàæäû ïî x ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Âû-
áåðåì òåïåðü α(λ) è β(λ) òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óêàçàííûå óñëîâèÿ è
íà÷àëüíîå óñëîâèå (3.2). Ïîëàãàÿ â (3.11) t = 0, ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì (3.2),
÷òî                      Z ∞
                 ϕ(x) =      [α(λ) osλx + β(λ)sinλx]dλ.          (3.12)
                           −∞
Íà ðàâåíñòâî (3.12) ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ðàçëîæåíèå íà÷àëüíîé óíê-
öèè ϕ â èíòåãðàë Ôóðüå ïî óíêöèÿì osλx è sinλx. Õîðîøî èçâåñòíî,
(ñì. [19, . 355℄), ÷òî êîýèöèåíòû α(λ) è β(λ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò-
ñÿ ïî óíêöèè ϕ, îáëàäàþùåé îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè ðåãóëÿðíîñòè, ñ
ïîìîùüþ îðìóë
                  Z ∞                        Z ∞
               1                           1
      α(λ) =          ϕ(ξ) osλξdξ, β(λ) =        ϕ(ξ)sinλξdξ.    (3.13)
              2π −∞                       2π −∞
                                      75

Страницы