Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(z) = (1/2 )e
−z
2
v(z) = sin µz u
′
= −ze
−z
2
v
′
= µ cos µz
J
′
(µ) = −
µ
2
Z
∞
0
e
−z
2
µzdz = −
µ
2
J(µ).
J
J
′
(µ) = −(µ/2)J(µ)
J(µ) = Cexp −(µ
2
/4) C
µ = 0
C = J(0) =
Z
∞
0
e
−z
2
dz =
√
π
2
.
Z
∞
−∞
e
−z
2
dz =
√
π.
J(µ) =
√
π
2
e
−
µ
2
4
.
Z
∞
0
e
−a
2
λ
2
t
λ(ξ − x)dλ =
√
π
2a
√
t
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
, t > 0.
u(x, t) =
Z
∞
−∞
ϕ(ξ)
1
2a
√
πt
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ.
F (ξ, x, t) ≡
1
2a
√
πt
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
,
x t
(x, t) t > 0
ϕ
ϕ ∈ C(−∞, ∞) |ϕ(x)| ≤ M < ∞ ∀x ∈ (−∞, ∞)
(x, t) ∈ Q
T
                              2                              2
è ïîëàãàÿ u(z) = (1/2)e−z , v(z) = sin µz , u′ = −ze−z , v ′ = µ cos µz ,
âûâîäèì                        Z ∞
                             µ         2             µ
                 J ′ (µ) = −       e−z osµzdz = − J(µ).
                             2 0                     2
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèÿ J óäîâëåòâîðÿåò îáûêíîâåííîìó äèåðåíöè-
àëüíîìó óðàâíåíèþ J ′ (µ) = −(µ/2)J(µ). Îáùåå ðåøåíèå ïîñëåäíåãî èìååò
âèä J(µ) = Cexp − (µ2 /4), ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. ×òîáû îïðå-
äåëèòü åå, ïîëîæèì çäåñü µ = 0. Ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì (3.17)
                                    Z ∞           √
                                            2       π
                        C = J(0) =       e−z dz =      .
                                     0             2
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü èçâåñòíîé îðìóëîé (ñì. [19, . 109℄)
                          Z ∞
                                  2    √
                               e−z dz = π.                          (3.18)
                                  −∞

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî
                                           √
                                             π − µ2
                                  J(µ) =      e 4.                  (3.19)
                                            2
Ïîäñòàâëÿÿ (3.19) â (3.17), èìååì
            Z ∞                           √
                  −a2 λ2 t                  π − (ξ−x)  2
                 e         osλ(ξ − x)dλ = √ e    4a2 t   , t > 0.   (3.20)
              0                          2a t
Ó÷èòûâàÿ (3.20), ïåðåïèøåì îêîí÷àòåëüíî (3.15) â âèäå
                             Z ∞
                                        1    − (ξ−x)
                                                     2

                   u(x, t) =     ϕ(ξ)   √   e   4a2t
                                                       dξ.          (3.21)
                              −∞      2a πt
  Çàìå÷àíèå 3.3. Ëåãêî ïîêàçàòü (ïîäñòàíîâêîé â (3.1)), ÷òî óíêöèÿ
                                             1   (ξ−x)2
                          F (ξ, x, t) ≡      √ e− 4a2 t ,           (3.22)
                                           2a πt
ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê óíêöèÿ îò x è t, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1)
â êàæäîé òî÷êå (x, t) ïðè t > 0. Ôóíêöèÿ (3.22) íàçûâàåòñÿ óíäàìåíòàëü-
íûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè â (3.1). Áîëåå ïîäðîáíî î íåì
ñì. íèæå.
   3.3. Îáîñíîâàíèå ìåòîäà Ôóðüå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíàÿ óíê-
öèÿ ϕ â (3.2) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
   (i) ϕ ∈ C(−∞, ∞), |ϕ(x)| ≤ M < ∞ ∀x ∈ (−∞, ∞).
Äîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè (i) óíêöèÿ (3.21) ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì (êëàñ-
ñè÷åñêèì) ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (3.1), (3.2). Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî óíê-
öèÿ (3.21) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.1) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ QT . Äëÿ

                                           77

Страницы