Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u |x| < ∞ t > 0
|ϕ(x)| ≤ M ∀x ∈ (−∞, ∞)
|u(x, t)| ≤
1
√
π
Z
∞
−∞
|ϕ(x + 2az
√
t)|e
−z
2
dz ≤
M
√
π
Z
∞
−∞
e
−z
2
dz = M,
1
√
π
Z
∞
−∞
e
−z
2
dz = 1.
ϕ(x)
u(x, t) − ϕ(x) =
1
√
π
Z
∞
−∞
h
ϕ(x + 2az
√
t) − ϕ(x)
i
e
−z
2
dz.
|u(x, t) − ϕ(x)| ≤
1
√
π
Z
∞
−∞
|ϕ(x + 2az
√
t) − ϕ(x)|e
−z
2
dz.
|ϕ(x + 2az
√
t) − ϕ(x)| ≤ 2M ∀x, z ∈ (−∞, ∞), t ∈ [0, T ].
ε > 0
N
2M
√
π
Z
−N
−∞
e
−z
2
dz ≤
ε
3
,
2M
√
π
Z
∞
N
e
−z
2
dz ≤
ε
3
.
(−∞, ∞) (−∞, −N)
[−N, N] (N, ∞)
|u(x, t) − ϕ(x)| ≤
2ε
3
+
1
√
π
Z
N
−N
|ϕ(x + 2az
√
t) − ϕ(x)|e
−z
2
dz.
ϕ (−∞, ∞)
t > 0 |x| ≤ L |z| ≤ N |ϕ(x + 2az
√
t) − ϕ(x)| ≤ ε/3
|u(x, t) − ϕ(x)| ≤
2ε
3
+
ε
3
1
√
π
Z
N
−N
e
−z
2
dz ≤
2ε
3
+
ε
3
1
√
π
Z
∞
−∞
e
−z
2
dz = ε.
|u(x, t) − ϕ(x)| < ε ∀x ∈ (−∞, ∞)
t ε
Îòñþäà ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü ðåøåíèÿ u ïðè |x| < ∞ è t > 0, åñëè
|ϕ(x)| ≤ M ∀x ∈ (−∞, ∞). Äåéñòâèòåëüíî èç (3.27) èìååì
                   1
                     Z ∞           √ −z 2     M
                                                 Z ∞
                                                        2
      |u(x, t)| ≤ √      |ϕ(x + 2az t)|e dz ≤ √      e−z dz = M,
                    π −∞                        π −∞
òàê êàê â ñèëó (3.18)
                                        ∞
                             1
                                    Z
                                                  2
                            √                e−z dz = 1.               (3.28)
                              π         −∞
  Óìíîæèì (3.28) íà ϕ(x) è âû÷òåì èç (3.27). Ïîëó÷èì
                           Z ∞h
                         1                √         i  2
       u(x, t) − ϕ(x) = √       ϕ(x + 2az t) − ϕ(x) e−z dz.
                          π −∞
Îòñþäà èìååì
                                    ∞             √
                           1
                                Z
                                                                2
       |u(x, t) − ϕ(x)| ≤ √             |ϕ(x + 2az t) − ϕ(x)|e−z dz.   (3.29)
                            π   −∞

 ñèëó óñëîâèé (i), î÷åâèäíî, èìååì
               √
     |ϕ(x + 2az t) − ϕ(x)| ≤ 2M ∀x, z ∈ (−∞, ∞), t ∈ [0, T ].          (3.30)

  Ïóñòü ε > 0  ñêîëü óãîäíî ìàëîå ÷èñëî. Èç ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî
èíòåãðàëà â (3.28) âûòåêàåò, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî N , ÷òî

                2M −N −z 2        ε 2M ∞ −z 2          ε
                    Z                      Z
                √        e dz ≤ , √            e dz ≤ .          (3.31)
                  π −∞            3     π N            3
àçáèâàÿ èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ (−∞, ∞) íà òðè ÷àñòè: (−∞, −N ),
[−N, N ], (N, ∞), è ó÷èòûâàÿ (3.30), (3.31), âûâîäèì èç (3.29), ÷òî
                               Z N
                       2ε   1                  √             2
    |u(x, t) − ϕ(x)| ≤    +√        |ϕ(x + 2az t) − ϕ(x)|e−z dz.    (3.32)
                       3     π −N
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ ϕ íåïðåðûâíà íà (−∞, ∞), òî√ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî
ìàëûõ t > 0 è |x| ≤ L, |z| ≤ N èìååì |ϕ(x + 2az t) − ϕ(x)| ≤ ε/3. Ñ
ó÷åòîì ýòîãî èç íåðàâåíñòâà (3.32) ïîëó÷àåì
                               Z N                  Z ∞
                      2ε ε 1          2     2ε  ε 1        2
   |u(x, t) − ϕ(x)| ≤   + √        e−z dz ≤    + √      e−z dz = ε.
                      3  3 π −N             3   3 π −∞
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî |u(x, t) − ϕ(x)| < ε ∀x ∈ (−∞, ∞) ïðè
äîñòàòî÷íî ìàëûõ t. Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε ñëåäóåò (3.26).

                                             79

Страницы