Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 81 стр.

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ДВФУ | Владивосток

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u
x
t
ˆu(λ, t) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
u(ξ, t)e
iλξ
dξ.
u
ˆu u x
ξ
1
√
2π
e
iλξ
(−∞, ∞)
1
√
2π
Z
∞
−∞
∂u(ξ, t)
∂t
e
iλξ
dξ =
a
2
√
2π
Z
∞
−∞
∂
2
u(ξ, t)
∂ξ
2
e
iλξ
dξ +
ˆ
f(λ, t),
ˆ
f
f x
ˆ
f(λ, t) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
f(ξ, t)e
iλξ
dξ.
1
√
2π
Z
∞
−∞
∂u(ξ, t)
∂t
e
iλξ
dξ =
d
dt
1
√
2π
Z
∞
−∞
u(ξ, t)e
iλξ
dξ
=
dˆu(λ, t)
dt
.
I ≡
a
2
√
2π
Z
∞
−∞
∂
2
u(ξ, t)
∂ξ
2
e
iλξ
dξ =
a
2
√
2π
∂u(ξ, t)
∂ξ
e
iλξ
∞
−∞
−
a
2
iλ
√
2π
Z
∞
−∞
∂u(ξ, t)
∂ξ
e
iλξ
dξ.
I = −
a
2
iλ
√
2π
u(ξ, t)e
iλξ
∞
−∞
+
a
2
(iλ)
2
√
2π
Z
∞
−∞
u(ξ, t)e
iλξ
dξ = −a
2
λ
2
ˆu(λ, t).
dˆu(λ, t)
dt
+ a
2
λ
2
ˆu(λ, t) =
ˆ
f(λ, t).
Ïðàâàÿ ÷àñòü îðìóëû (3.39) íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôó-
ðüå.
   Ñëåäóÿ ìåòîäó èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âìåñòî óíêöèè u áóäåì
èñêàòü åå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x,
ñ÷èòàÿ ïåðåìåííóþ t ïàðàìåòðîì, ò. å. áóäåì èñêàòü óíêöèþ
                                    Z ∞
                                 1
                     û(λ, t) = √       u(ξ, t)eiλξ dξ.         (3.40)
                                  2π −∞
Ñ÷èòàÿ, ÷òî çàäà÷à (3.35)(3.37) ðàçðåøèìà è u  åå ðåøåíèå, íàéäåì óðàâ-
íåíèå è äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óíê-
öèÿ û. Äëÿ ýòîãî çàìåíèì â òîæäåñòâå (3.35) äëÿ ðåøåíèÿ u ïåðåìåííóþ x
íà ξ , óìíîæèì îáå åãî ÷àñòè íà √12π eiλξ è ïðîèíòåãðèðóåì íà (−∞, ∞). Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
           Z ∞                      Z ∞ 2
        1      ∂u(ξ, t) iλξ     a2        ∂ u(ξ, t) iλξ
      √                e dξ = √                2
                                                   e dξ + fˆ(λ, t), (3.41)
        2π −∞     ∂t             2π −∞      ∂ξ

ãäå fˆ  ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óíêöèè f ïî x, îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé
                                     Z ∞
                                  1
                      fˆ(λ, t) = √       f (ξ, t)eiλξ dξ.       (3.42)
                                   2π −∞
  Ïðåîáðàçóåì èíòåãðàëû, âõîäÿùèå â (3.41). Èìååì
      Z ∞                        Z ∞             
   1      ∂u(ξ, t) iλξ   d     1              iλξ   dû(λ, t)
  √               e dξ =      √       u(ξ, t)e dξ =           .            (3.43)
    2π −∞ ∂t             dt     2π −∞                  dt
Ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåì
         Z ∞ 2                                      ∞
     a2       ∂ u(ξ, t) iλξ       a2 ∂u(ξ, t) iλξ         a2iλ ∞ ∂u(ξ, t) iλξ
                                                               Z
I≡√                    e dξ = √               e         −√                    e dξ.
      2π −∞ ∂ξ 2                   2π ∂ξ            −∞      2π   −∞     ∂ξ
                                                                             (3.44)
 ñèëó óñëîâèé (3.37) âíåèíèòåãðàëüíîé ÷ëåí â (3.44) èñ÷åçàåò. Ïðîâîäÿ
ïîâòîðíîå èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, áóäåì èìåòü
                       ∞             2 Z ∞
        a2 iλ                a2
                                (iλ)
 I = − √ u(ξ, t)eiλξ        + √            u(ξ, t)eiλξ dξ = −a2 λ2 û(λ, t). (3.45)
          2π           −∞        2π −∞
Âíåèíòåãðàëüíûé ÷ëåí îïÿòü èñ÷åç â ñèëó (3.37). Ïîäñòàâëÿÿ (3.43) è (3.45)
â (3.41), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ

                        dû(λ, t)
                                  + a2 λ2 û(λ, t) = fˆ(λ, t).             (3.46)
                           dt

                                         81

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