Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ˆ
f
c
(λ) =
r
2
π
Z
∞
0
f(ξ)cosλξdξ,
ˆ
f
s
(λ) =
r
2
π
Z
∞
0
f(ξ)sinλξdξ, 0 < λ < ∞
f(λ) =
Z
∞
0
f(ξ)e
−λξ
dξ, λ = σ + iτ, 0 < σ
0
≤ σ.
u
x
ϕ
α < x < β
u(x, t) =
Z
β
α
ϕ(ξ)
1
2a
√
πt
e
−
(ξ−x)
2
4a
2
t
dξ.
t > 0
x u(x, t)
    Ìåòîä èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ êëàñ-
ñè÷åñêèõ ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Êðîìå ðàññìîòðåííîãî âûøå
èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå ïðåîáðàçîâà-
íèÿ. Èç íèõ íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿþòñÿ êîñèíóñ è ñèíóñ  ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå
           r Z ∞                           r Z ∞
            2                               2
 fˆc (λ) =         f (ξ)cosλξdξ, fˆs (λ) =         f (ξ)sinλξdξ, 0 < λ < ∞
            π 0                             π 0
                                                                       (3.52)
è ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé
                      Z ∞
             f (λ) =      f (ξ)e−λξ dξ, λ = σ + iτ, 0 < σ0 ≤ σ.        (3.53)
                      0

Óêàçàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ðàñ-
ñìàòðèâàåìûõ íà ïîëóáåñêîíå÷íîì ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ èíòåðâàëå. Áî-
ëåå ïîäðîáíî ñ ìåòîäîì èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÷èòàòåëü ìîæåò ïî-
çíàêîìèòüñÿ â [21, ãë. 3335℄.
   3.5. Ôèçè÷åñêèé àíàëèç ðåøåíèÿ. Îáðàòèìñÿ ê îðìóëå (3.21), ðå-
øàþùåé çàäà÷ó Êîøè (3.1), (3.2), è óêàæåì åå èçè÷åñêèé ñìûñë â ïðåä-
ïîëîæåíèè, ÷òî u îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â áåñêîíå÷íîì
ñòåðæíå, ðàñïîëîæåííîì â íàïðàâëåíèè îñè x.
   Íà÷íåì íàø àíàëèç ñ óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî ñîãëàñíî îðìóëå (3.21)
òåïëî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü ñòåðæíÿ ìãíîâåííî, à íå ñ êàêîé-ëèáî êîíå÷-
íîé ñêîðîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ϕ ïîëîæè-
òåëüíà äëÿ α < x < β è ðàâíà íóëþ âíå ýòîãî îòðåçêà. Òîãäà ïîñëåäóþùåå
ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóð â ñòåðæíå îïèñûâàåòñÿ îðìóëîé.
                               Z β
                                         1   (ξ−x)2
                    u(x, t) =      ϕ(ξ) √ e− 4a2 t dξ.             (3.54)
                                α      2a πt
Èç (3.54) âèäíî, ÷òî ïðè ñêîëü óãîäíî ìàëûõ t > 0 è ñêîëü óãîäíî áîëüøèõ
x u(x, t) áîëüøå íóëÿ.
   Îòñþäà âûòåêàåò ïàðàäîêñàëüíûé âûâîä î òîì, ÷òî òåïëî ðàñïðîñòðà-
íÿåòñÿ â ñòåðæíå ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Ôèçè÷åñêè ýòî, êîíå÷íî, íå ñî-
îòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîñòè, à äàííûé âûâîä ìû ñäåëàëè ëèøü íà îñíî-
âàíèè ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà â ñòåðæíå îïèñû-
âàåòñÿ óðàâíåíèåì (3.1). Íà îñíîâàíèè ïðèâåäåííîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ìîæíî
ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ÿâëÿåòñÿ íå ñîâñåì
òî÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà (ëèáî
ïðîöåññà äèóçèè âåùåñòâà). Òåì íå ìåíåå ïðèìåíåíèå óðàâíåíèÿ òåïëî-
ïðîâîäíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü îïðàâäàííûì íà ïðàêòèêå, ïîñêîëüêó çà èñ-
êëþ÷åíèåì ïðèâåäåííîãî ïàðàäîêñà è íåêîòîðûõ èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àåâ

                                     83

Страницы