Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

r ρ
r
u
θ ϕ
1
r
2
d
dr
r
2
du
dr
= 0, r = |x| > 0.
r
2
u(x) = U(r) ≡ C
1
/r +C
2
C
1
C
2
C
1
= 1/4π C
2
= 0
u(x) =
1
4π|x|
≡
1
4πr
.
R
3
x = 0
x 6= 0
|x|
−1
R
3
\{0}
R
3
1/|x| 1/4π
r
x = (x
1
, x
2
, x
3
)
y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
E
3
(·, y) : R
3
→ R
E
3
(x, y) ≡
1
4π|x − y|
=
1
4π
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ (x
3
− y
3
)
2
, x 6= y,
Ω R
3
y
y = 0 y 6= 0
y
â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
   Â ïðèëîæåíèÿõ âàæíóþ ðîëü èãðàþò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, îá-
ëàäàþùèå ñåðè÷åñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèåé, ò. å. çàâèñÿùèå
òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîé: r èëè ρ. Íàéäåì ñíà÷àëà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà, çàâèñÿùèå òîëüêî îò r. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàïëàñà â
ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ è âîñïîëüçóåìñÿ òåì àêòîì, ÷òî ðåøåíèå u íå
çàâèñèò îò θ è ϕ. Ó÷èòûâàÿ (1.5), ïîëó÷èì óðàâíåíèå
                                 
                     1 d       du
                      2
                            r2      = 0, r = |x| > 0.            (1.7)
                     r dr      dr
Óìíîæàÿ íà r2 è èíòåãðèðóÿ äâàæäû ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, âûâîäèì, ÷òî
u(x) = U (r) ≡ C1/r + C2, ãäå C1 è C2  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîëàãàÿ
çäåñü C1 = 1/4π , C2 = 0, ïîëó÷èì óíêöèþ
                                     1       1
                           u(x) =        ≡      .                   (1.8)
                                   4π|x|    4πr
Ôóíêöèÿ (1.8) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìîé è, áîëåå òîãî, àíà-
ëèòè÷åñêîé âñþäó â R3 , êðîìå òî÷êè x = 0, ãäå îíà èìååò îñîáåííîñòü
1-ãî ïîðÿäêà. Êðîìå òîãî, ïî ïîñòðîåíèþ îíà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Ëàïëàñà (1.2) â êàæäîé òî÷êå x 6= 0 è óáûâàåò íà áåñêîíå÷íîñòè ñ ïåðâûì
ïîðÿäêîì ïî |x|−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, îíà ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â R3 \ {0}.
Ôóíêöèþ (1.8) íàçûâàþò ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ïðî-
ñòðàíñòâå R3 .  ñâîþ î÷åðåäü, ñóììó ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ è ëþáîé ãàð-
ìîíè÷åñêîé óíêöèè íàçûâàþò óíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà
Ëàïëàñà. Âìåñòî òåðìèíà ñèíãóëÿðíîå èñïîëüçóþò òàêæå òåðìèíû ýëå-
ìåíòàðíîå, ëèáî ãëàâíîå óíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî
íàçâàíèå ñèíãóëÿðíîå ðåøåíèå îòíîñèòñÿ èìåííî ê óíêöèè (1.8), îòëè-
÷àþùåéñÿ îò óíêöèè 1/|x| ìíîæèòåëåì 1/4π . Ïðè÷èíà ïîÿâëåíèÿ ýòîãî
ìíîæèòåëÿ âûÿñíèòñÿ ïîçæå.
   Ïðèâåäåííûé çäåñü ðåçóëüòàò îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëè â êà÷åñòâå r
â (1.8) âçÿòü ðàññòîÿíèå îò ïåðåìåííîé òî÷êè x = (x1, x2 , x3 ) äî ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êè y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Äðóãèìè ñëîâàìè, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
ëåììà
   Ëåììà 1.1. Ôóíêöèÿ E3 (·, y) : R3 → R, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
                  1                             1
  E3 (x, y) ≡             = p                                       , x 6= y,
              4π|x − y| 4π (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3)2
                                                                          (1.9)
ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â ëþáîé îáëàñòè Ω ïðîñòðàíñòâà R , íå ñîäåð-
                                                                  3

æàùåé òî÷êè y.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè y = 0 ëåììà óæå äîêàçàíà. Ïðè y 6= 0 ñëåäóåò
ââåñòè ñåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ öåíòðîì â òî÷êå y è ïîâòîðèòü
ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ.

                                      88

Страницы