Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ω
n
= 2π
n/2
/Γ(n/2) Γ
E
n
(·, y) : R
n
→ R
E
n
(x, y) ≡
1
ω
n
|x − y|
n−2
, x 6= y, n ≥ 3,
|x − y| =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ ... + (x
n
− y
n
)
2
x = (x
1
, x
2
, ..., x
n
)
y = (y
1
, y
2
, ..., y
n
)
Ω R
n
y
R
n
y R
n
y = 0
E
n
(·, y) n = 3
q
y ∈ R
3
(y, q)
y q
u
(y, q) x R
3
u(x) =
q
4π|x − y|
≡ qE
3
(x, y).
E
3
(x, y)
x ∈ R
3
y
u
E(x, y) = −kq∇
x
E
3
(x, y) x
∇ E
3
x k
k = 1 E(x, y)
x ∈ R
3
(y, q)
x
r = |x − y| =
p
(x
1
− y
1
)
2
+ (x
2
− y
2
)
2
+ (x
3
− y
3
)
2
∂r
∂x
i
=
x
i
− y
i
r
,
∂
∂x
i
1
|x − y|
≡
∂
∂x
i
1
r
= −
1
r
2
∂r
∂x
i
= −
x
i
− y
i
r
3
,
∂
∂y
i
(
1
|x − y|
) =
x
i
− y
i
r
3
, ∇
x
1
|x − y|
= −
x − y
|x − y|
3
= −∇
y
1
|x − y|
.
 . 43℄, ÷òî ωn = 2π n/2 /Γ(n/2), ãäå Γ  ãàììà-óíêöèÿ Ýéëåðà. Íåïîñðåä-
ñòâåííîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåé ëåììû.
   Ëåììà 1.3. Ôóíêöèÿ En (·, y) : Rn → R, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
                                       1
                 En(x, y) ≡                    , x 6= y, n ≥ 3,        (1.14)
                                 ωn |x − y|n−2
 ãäå âåëè÷èíà |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2 èìååò
                              p
ñìûñë ðàññòîÿíèÿ îò ïåðåìåííîé òî÷êè x = (x1 , x2, ..., xn) äî èêñèðîâàí-
íîé òî÷êè y = (y1 , y2 , ..., yn), ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â ëþáîì îòêðûòîì
ìíîæåñòâå Ω ïðîñòðàíñòâà Rn , íå ñîäåðæàùåé òî÷êè y.
   Ôóíêöèþ (1.14) áóäåì íàçûâàòü ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëà-
ïëàñà â Rn ñ öåíòðîì â òî÷êå y èëè ïðîñòî ñèíãóëÿðíûì ðåøåíèåì â Rn ,
åñëè y = 0.
  1.3. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ. Ïîòåíöèàëû
ìîíîïîëåé, äèïîëåé è ìóëüòèïîëåé.          Èçó÷èì èçè÷åñêèé ñìûñë ñèí-
ãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ En(·, y) îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïðè n = 3 èëè 2. Ñ ýòîé
öåëüþ ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä âåëè÷èíû q , ñîñðåäî-
òî÷åííûé â òî÷êå y ∈ R3 . Íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ïàðó (y, q) áóäåì ññû-
ëàòüñÿ êàê íà òî÷å÷íûé çàðÿä (èëè ìîíîïîëü ëèáî ìóëüòèïîëü íóëåâîãî
ïîðÿäêà) ñ öåíòðîì â òî÷êå y èíòåíñèâíîñòè q . Èç ðåçóëüòàòîâ ãë. 1
(ñì. òàêæå [38, . 64℄) ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë u ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî ìîíîïîëåì (y, q) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ïðîñòðàíñòâà R3 ,
îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                   q
                       u(x) =            ≡ qE3 (x, y).              (1.15)
                               4π|x − y|
Íà îñíîâàíèè (1.15) âûâîäèì, ÷òî ïî ñâîåìó èçè÷åñêîìó ñìûñëó E3 (x, y)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷åíèå â òî÷êå x ∈ R3 ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî åäèíè÷íûì òî÷å÷íûì èñòî÷íèêîì, ñîñðåäîòî÷åííûì â
òî÷êå y. Âïðî÷åì, íåïîñðåäñòâåííûé èçè÷åñêèé ñìûñë èìååò íå ñàì ïî-
òåíöèàë u â (1.15), à åãî ãðàäèåíò, òî÷íåå âåêòîðíîå ïîëå íàïðÿæåííîñòè
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E(x, y) = −kq∇x E3 (x, y). Çäåñü èíäåêñ  x ó îïåðà-
òîðà ∇ îçíà÷àåò, ÷òî îí ïðèìåíÿåòñÿ ê E3 êàê óíêöèè îò x, k  íåêîòîðàÿ
êîíñòàíòà, âåëè÷èíà è ðàçìåðíîñòü êîòîðîé çàâèñÿò îò âûáðàííîé ñèñòåìû
åäèíèö.  ÷àñòíîñòè, k = 1 â ñèñòåìå ÑÈ. Èìåííî âåêòîð E(x, y) â êàæ-
äîé òî÷êå x ∈ R3 ðàâåí ñèëå, ñ êîòîðîé òî÷å÷íûé çàðÿä (y, q) äåéñòâóåò
íà åäèíè÷íûép   òî÷å÷íûé çàðÿä, ïîìåùåííûé â òî÷êó x [38, . 15℄. Ïîëàãàÿ
r = |x − y| = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2, ëåãêî íàõîäèì, ÷òî
                                            
      ∂r     xi − yi ∂          1          ∂   1       1 ∂r      xi − yi
          =          ,                 ≡          =− 2       =−          ,
      ∂xi       r       ∂xi |x − y|       ∂xi r        r ∂xi        r3
                                                                    
  ∂     1         xi − yi           1          x−y                1
    (        )=           , ∇x             =−          = −∇y             (1.16)
                                                                           .
 ∂yi |x − y|         r3          |x − y|      |x − y|3         |x − y|
                                      90

Страницы