Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ ρ : Γ → R
(Γ, ρ)
u(x) = U[Γ, ρ](x) =
Z
Γ
ρ(y)dσ
y
4π|x − y|
,
dσ
y
Γ y ∈ Γ
x /∈ Γ
x ∈ Γ
ρ Γ
(Γ, ρ) ρ
Γ
ρ Γ
(Γ, ρ)
Γ
n
y
y
y
l
Γ
q = ρ(y)
y ∈ Γ l
n
y
Γ y
(Γ, ρ, n)
u
(Γ, ρ, n)
u(x) = U[Γ, ρ, n](x) =
1
4π
Z
Γ
ρ(y)
∂
∂n
y
1
|x − y|
dσ
y
.
Γ ρ
Γ
Γ
h
h
   àññìîòðèì äàëåå ñëó÷àé, êîãäà çàðÿäû ëèáî ìàññû ðàñïðåäåëåíû íà
íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè Γ ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ρ : Γ → R. Àíàëî-
ãè÷íûå âûøåïðèâåäåííûì ñîîáðàæåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîòåíöèàë ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî ïîâåðõíîñòíûì çàðÿäîì (Γ, ρ), îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                           ρ(y)dσy
                                        Z
                   u(x) = U [Γ, ρ](x) =             ,          (1.26)
                                          4π|x − y|
                                       Γ

ãäå dσy  ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè Γ, îòíîñÿùèéñÿ ê òî÷êå y ∈ Γ.
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (1.26)  ñîáñòâåííûé ïðè x ∈ /Γè
íåñîáñòâåííûé (â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå) ïðè x ∈ Γ, íàçûâàåòñÿ ïîòåí-
öèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ çàðÿäîâ, ðàñïðåäåëåííûõ ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíî-
ñòüþ ρ ïî ïîâåðõíîñòè Γ. Äëÿ êðàòêîñòè íà íåãî áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà
êóëîíîâ ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ ïàðû (Γ, ρ).  ñëó÷àå, åñëè óíêöèÿ ρ
îïèñûâàåò ïëîòíîñòü ìàññ, ðàñïðåäåëåííûõ ïî Γ, èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè
(1.26) ïðèíÿòî íàçûâàòü íüþòîíîâûì ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ ìàññ,
ðàñïðåäåëåííûõ ñ ïëîòíîñòüþ ρ ïî ïîâåðõíîñòè Γ. Äëÿ êðàòêîñòè íà íåãî
áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà íüþòîíîâ ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ ïàðû (Γ, ρ).
   àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà íà ïîâåðõ-
íîñòè Γ ðàñïðåäåëåíû äèïîëè ñ íåïðåðûâíî èç-                  n
ìåíÿþùèìñÿ ìîìåíòîì q = ρ(y), ïðè÷åì â êàæ-                      y
äîé òî÷êå y ∈ Γ íàïðàâëåíèå îñè l äèïîëÿ ñîâ-                        Γ
ïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âíåøíåé íîðìàëè ny ê
Γ â òî÷êå y. Áóäåì ññûëàòüñÿ â ýòîì ñëó÷àå
                                                               y
íà òðîéêó (Γ, ρ, n) êàê íà ïîâåðõíîñòíóþ çà-
ðÿäíóþ ñèñòåìó äèïîëåé. àññóæäàÿ, êàê ïðè                  y
âûâîäå îðìóëû (1.25), íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
ïîòåíöèàë u ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâà-         l
åìîãî òðîéêîé (Γ, ρ, n), îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                                                       èñ. 1.2.
                         1         ∂     1
                           Z
u(x) = U [Γ, ρ, n](x) =      ρ(y)             dσy .
                        4π        ∂ny |x − y|
                        Γ
                                         (1.27)
Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (1.27) íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì äâîéíîãî ñëîÿ çà-
ðÿäîâ, ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè Γ ñ ïëîòíîñòüþ ρ. Òàêîå íàçâàíèå
ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå íà Γ ðàñïðåäåëåíèå äèïîëåé ìîæåò
áûòü ïðèáëèæåííî ïîëó÷åíî â âèäå äâóõ âíóòðåííåé è âíåøíåé ê Γ
ïîâåðõíîñòíûõ çàðÿäíûõ ñèñòåì ìîíîïîëåé, ðàñïîëîæåííûõ íà ìàëîì ðàñ-
ñòîÿíèè h äðóã îò äðóãà, ïëîòíîñòè êîòîðûõ îòëè÷àþòñÿ ëèøü çíàêîì è
ðàñòóò ñ óìåíüøåíèåì h.
   Íàðÿäó ñ ââåäåííûìè âûøå îáúåìíûì ïîòåíöèàëîì (1.25) è ïîòåíöè-
àëàìè ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîÿ (1.26) è (1.27) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü

                                  96

Страницы