Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ S
Γ Γ
Γ
Γ rotv
S Γ
S
Ω x, y R = 0 P Q
z
Z
Ω
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
x y =
I
Γ
P x + Q y,
Ω
(2a) P Q Ω
Ω Ω
P Q
Γ
Ω
v : Ω → R
v
rotv = (∂Q/∂x−∂P/∂y)k
x, y ∂Q/∂x − ∂P/∂y
P Q
v
R
Ω
rotvdxdy =
H
Γ
v · tds
Ω ∆ ∇
∂/∂n
R
3
R
2
R
n
R
n
Γ ìîæíî ïîäîáðàòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïîâåðõíîñòåé S , èìåþùèõ ñâî-
åé ãðàíèöåé êðèâóþ Γ, èëè, êàê ãîâîðÿò, íàòÿíóòûõ íà êðèâóþ Γ. Åñëè
ñ÷èòàòü ïåðâè÷íîé ãðàíèöó Γ, òî òîãäà èçè÷åñêèé ñìûñë îðìóëû (2.9)
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ ïî çàìêíóòîé êðè-
âîé Γ ðàâíà ïîòîêó âåêòîðíîãî ïîëÿ rotv ÷åðåç ëþáóþ êóñî÷íî-ãëàäêóþ
ïîâåðõíîñòü S , íàòÿíóòóþ íà ãðàíèöó Γ.
   àññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêîå ìíî-
æåñòâî Ω, ëåæàùåå â ïëîñêîñòè x, y , ïðè÷åì R = 0, à óíêöèè P è Q
íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû z .  òàêîì ñëó÷àå îðìóëà (2.8) ïåðåõîäèò â
îðìóëó          Z            
                     ∂Q ∂P
                                        I
                        −        dxdy =     P dx + Qdy,         (2.11)
                  Ω  ∂x     ∂y            Γ
íàçûâàåìóþ (ïëîñêîé) îðìóëîé ðèíà. Áîëåå òî÷íî, ñïðàâåäëèâà ñëåäó-
þùàÿ òåîðåìà (ñì. [19, ñ. 170℄).
   Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü ïëîñêîå ìíîæåñòâî Ω óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
(2a), à óíêöèè P è Q íåïðåðûâíû â Ω è íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû
â Ω. Åñëè ñóùåñòâóþò íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ïî Ω îò êàæäîé èç
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ óíêöèé P è Q, òî ñïðàâåäëèâà îðìóëà (2.11),
íàçûâàåìàÿ îðìóëîé ðèíà. Ïðè ýòîì ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (2.11)
èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó èíòåãðàëîâ ïî ñâÿçíûì êîìïîíåí-
òàì ãðàíèöû Γ, íà êîòîðûõ óêàçàíî òàêîå íàïðàâëåíèå îáõîäà, ïðè êî-
òîðîì Ω îñòàåòñÿ ñëåâà.
   Íàïîìíèì, ÷òî ïîä ðîòîðîì äâóìåðíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ v : Ω → R ïî-
íèìàþò ëèáî âåêòîð rotv, îïðåäåëÿåìûé â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
îðìóëîé rotv = (∂Q/∂x−∂P/∂y)k (óêàçàííûé âåêòîð íàïðàâëåí ïåðïåí-
äèêóëÿðíî ïëîñêîñòè x, y ), ëèáî ïðîñòî ñêàëÿð ∂Q/∂x − ∂P/∂y (êîòîðûé
òàêæå íàçûâàþò çàâèõðåííîñòüþ), ãäå P è Q  êîìïîíåíòû ðàçëîæåíèÿ
âåêòîðà v ïî äåêàðòîâîìó áàçèñó. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñëåäíåé èíòåðïðå-
òàöèè  îðìóëóH (2.11) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âåêòîðíîì âèäå
 Ω rotvdxdy = Γ v · tds.
R
   Çàìå÷àíèå 2.2. Îòìåòèì äâå îñîáåííîñòè ïðèâåäåííûõ âûøå îðìóë
  ðèíà (2.5)(2.7), àó ñà-Îñòðîãðàäñêîãî (2.2) è Ñòîêñà (2.9). Ïðåæäå âñå-
ãî îíè çàïèñàíû â èíâàðèàíòíîì âèäå, ïîñêîëüêó â èõ îðìóëèðîâêàõ
ó÷àñòâóþò èíâàðèàíòíûå, ò. å. íå çàâèñÿùèå îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò
â îáëàñòè Ω îïåðàòîðû: ëàïëàñèàí ∆, ãðàäèåíò ∇, ïðîèçâîäíàÿ ïî íîð-
ìàëè ∂/∂n, äèâåðãåíöèÿ div è ðîòîð rot. Âî-âòîðûõ, óêàçàííûå îðìóëû,
êðîìå îðìóëû (2.9), ñïðàâåäëèâû íå òîëüêî â R3 , íî è íà ïëîñêîñòè R2 , à
òàêæå â ïðîñòðàíñòâå Rn . Òî æå îòíîñèòñÿ ê îðìóëå (2.4). Ìû íàïîìíèì
ëèøü, ÷òî â Rn óêàçàííûå îïåðàòîðû îïðåäåëÿþòñÿ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå




                                   108

Страницы