Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε → 0
u ∈ C
2
(Ω)
Ω
(n)
⊂ Ω Ω
n → ∞ Ω
(n)
Ω
(n)
→ Ω
x
0
Ω x
0
Ω v ∈ C
2
(Ω) ∆v = 0 Ω
u v = 1/r
Z
Γ
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u( x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ
x
−
Z
Ω
∆u(x)
|x − x
0
|
x = 0.
x
0
∈ Γ
x
0
Γ Γ ∈ C
1
Γ
S
ε
(x
0
) ε > 0
x
0
Γ S
1ε
S
2ε
S
1ε
Ω S
2ε
Ω S
ε
Γ Γ
2ε
S
ε
Γ
1ε
Ω
ε
Ω Γ
2ε
S
1ε
Ω
u v = 1/r Ω
ε
Z
Ω
ε
∆u
r
x =
Z
Γ
2ε
1
r
∂u
∂n
x
− u
∂
∂n
x
1
r
σ
x
+
Z
S
1ε
1
r
∂u
∂n
x
− u
∂
∂n
x
1
r
σ
x
.
ε → 0 Ω
ε
ε → 0
Ω Γ
2ε
ε → 0
Γ
−2πu(x
0
)
ε → 0
4π 2π
Cu(x
0
) =
1
4π
Z
Γ
1
|x − x
0
|
∂u(x)
∂n
x
− u( x)
∂
∂n
x
1
|x − x
0
|
σ
x
−
1
4π
Z
Ω
∆u(x)
|x − x
0
|
x.
 ðåçóëüòàòå, ïåðåõîäÿ â (2.13) ê ïðåäåëó ïðè ε → 0, ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì
(2.16), (2.17) ê îðìóëå (2.12).
   Íàïîìíèì, ÷òî îðìóëà (2.12) äîêàçàíà ïðè äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïî-
ëîæåíèè, ÷òî u ∈ C 2 (Ω). ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò íåãî, ïîñòðîèì, êàê â [11,
 . 367℄, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãëàäêèõ îáëàñòåé Ω(n) ⊂ Ω, ñòðåìÿùèõñÿ ê Ω
ïðè n → ∞ (ñì. ðèñ. 2.1á). Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (2.12) â îáëàñòè Ω(n) è
ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè Ω(n) → Ω, ïîëó÷èì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.
   Íàïîìíèì, ÷òî â îðìóëå (2.12) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òî÷êà x0 íàõîäèòñÿ
âíóòðè Ω. Åñëè x0 íàõîäèòñÿ âíå Ω, òî òîãäà v ∈ C 2 (Ω) è ∆v = 0 â Ω.
Ïîýòîìó ïðèìåíÿÿ îðìóëó (2.7) ê óíêöèÿì u è v = 1/r, ïðèõîäèì ê
îðìóëå
   Z                                       
            1    ∂u(x)         ∂     1                 ∆u(x)
                                                    Z
                       − u(x)                 dσx −             dx = 0. (2.18)
        |x − x0| ∂nx          ∂nx |x − x0 |           |x − x0 |
  Γ                                                 Ω

   àññìîòðèì, äàëåå, ñëó÷àé, êîãäà x0 ∈ Γ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â îêðåñò-
íîñòè òî÷êè x0 ïîâåðõíîñòü Γ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, íàïðèìåð, Γ ∈ C 1, ò. å.
Γ èìååò êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ñ íåïðåðûâíî ìåíÿþùèìèñÿ óãëîâûìè êî-
ýèöèåíòàìè. Ïîñòðîèì ñåðó Sε (x0 ) ìàëîãî ðàäèóñà ε > 0 ñ öåíòðîì â
òî÷êå x0 . ßñíî, ÷òî ïîâåðõíîñòü Γ äåëèò åå íà äâå ÷àñòè: S1ε è S2ε, ãäå S1ε
ëåæèò âíóòðè Ω, à S2ε  âíå Ω. Òî÷íî òàê æå ñàìà ñåðà Sε äåëèò ïîâåðõ-
íîñòü Γ íà äâå ÷àñòè: âíåøíþþ Γ2ε ê Sε è âíóòðåííþþ Γ1ε (ñì. ðèñ. 2.1â).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ωε ïîäîáëàñòü îáëàñòè Ω, îãðàíè÷åííóþ êóñêîì Γ2ε è ÷à-
ñòüþ S1ε ñåðû , ëåæàùåé âíóòðè Ω. Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (2.7) ê óíêöèÿì
u è v = 1/r â îáëàñòè Ωε , ïîëó÷èì
              Z                         Z                 
     ∆u            1 ∂u      ∂ 1              1 ∂u      ∂ 1
  Z
        dx =             −u         dσx +           −u         dσx . (2.19)
      r            r ∂nx    ∂nx r             r ∂nx    ∂nx r
 Ωε           Γ2ε                           S1ε

Ïåðåéäåì â (2.19) ê ïðåäåëó ïðè ε → 0. Èíòåãðàë ïî Ωε â ëåâîé ÷àñòè
(2.19) ñòðåìèòñÿ ïðè ε → 0 ê ñîîòâåòñòâóþùåìó íåñîáñòâåííîìó èíòåãðà-
ëó ïî îáëàñòè Ω. Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïî Γ2ε ïåðåõîäèò ïðè ε → 0
â ñîîòâåòñòâóþùèé (ñèíãóëÿðíûé) ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïî ãðàíèöå Γ.
Âòîðîé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (2.19), êàê ëåãêî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ ðàñ-
ñóæäåíèé, àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèÿì òåîðåìû 2.4, ñòðåìèòñÿ ê −2πu(x0 ).
Ïîýòîìó â ïðåäåëå ïðè ε → 0 ïðèõîäèì ê îðìóëå, ïîëó÷àþùåéñÿ èç (2.12)
çàìåíîé â íåé 4π íà 2π .
   Îáúåäèíÿÿ âñå òðè ñëó÷àÿ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îáùåé îðìóëå
              Z                                      
            1        1     ∂u(x)         ∂     1                1    ∆u(x)
                                                                  Z
Cu(x0) =                         − u(x)                 d σx −                dx.
           4π     |x − x0 | ∂nx         ∂nx |x − x0 |          4π   |x − x0 |
              Γ                                                  Ω
                                                                          (2.20)

                                      111

Страницы