Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
Ω Ω
e
= R
n
\Ω Ω
Ω
e
W
W
e
W
e
0
¥
Ω
R
3
R
2
Ω
e
Ω
0
e
Ω
∞
e
Ω
e
Ω
∞
e
Ω
e
Ω
e
Ω
e
= Ω
e
∪ Γ
C
k
(Ω
e
) Ω
e
k Ω ∪ Γ
e
u ∈ C
k
(Ω
e
)
u(x) |x| → ∞
Ω R
3
Γ u ∈ C
1
(Ω) Ω
Z
Γ
∂u
∂n
σ = 0.
u v ≡ 1
u Ω
Ω
Ω
íàðÿäó ñ Ω áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü íåîãðàíè÷åííîå (âíåøíåå ïî îòíî-
øåíèþ ê Ω) ìíîæåñòâî Ωe = Rn \Ω. Â çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ Ω ìíîæåñòâî
Ωe ìîæåò ÿâëÿòüñÿ îáëàñòüþ, ò. å. ñâÿçíûì îòêðûòûì ìíîæåñòâîì, êàê íà
ðèñ. 3.1à, òàê è íå ñâÿçíûì ìíîæåñòâîì.
                                                     ¥
                                                  We



                                              W      W e0


                     (à)                            (á)


                                   èñ. 3.1


   Ïîñëåäíåå èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà Ω èìååò âèä øàðîâîãî
ñëîÿ â R3 èëè êîëüöà â R2 (ñì. ðèñ. 3.1á). Âèäíî, ÷òî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå Ωe
ñîñòîèò èç äâóõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò: îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω0e è íåîãðàíè-
÷åííîé îáëàñòè Ω∞   e .  îáùåì ñëó÷àå Ωe ìîæåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêèõ ñâÿç-
íûõ êîìïîíåíò, îäíà èç êîòîðûõ Ω∞    e íåîáõîäèìî ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé.
Äëÿ êðàòêîñòè ìû áóäåì ÷àñòî ññûëàòüñÿ íà Ωe êàê íà îáëàñòü, ïîíèìàÿ â
ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ïîä Ωe èìåííî óêàçàííóþ íåîãðàíè÷åííóþ ñâÿçíóþ
êîìïîíåíòó. Áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå Ωe = Ωe ∪ Γ è ïîíè-
ìàòü ïîä C k (Ωe ) ïðîñòðàíñòâî óíêöèé â Ωe , íåïðåðûâíûõ âìåñòå ñî âñåìè
ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî â êàæäîé òî÷êå Ω ∪ Γe . Îòìå-
òèì, ÷òî óñëîâèå ïðèíàäëåæíîñòè u ∈ C k (Ωe ) íå íàêëàäûâàåò êàêèõ-ëèáî
îãðàíè÷åíèé íà ïîâåäåíèå óíêöèè u(x) ïðè |x| → ∞.
   àññìîòðèì äëÿ êîíêðåòíîñòè ñëó÷àé òðåõ èçìåðåíèé.
   Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â R3 ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé
ãðàíèöåé Γ. Åñëè u ∈ C 1 (Ω)  ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω óíêöèÿ, òî
                                    ∂u
                                  Z
                                       dσ = 0.                         (3.2)
                                    ∂n
                               Γ
  Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (3.2) äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïåðâóþ
îðìóëó ðèíà (2.6) ê óêàçàííîé óíêöèè u è óíêöèè v ≡ 1.
   Òåîðåìà 3.2. Ôóíêöèÿ u, ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω, èìååò ïðîèç-
âîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ (ò. å. áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìà) â Ω. Ëþáàÿ ïðî-
èçâîäíàÿ îò ãàðìîíè÷åñêîé â Ω óíêöèè ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíê-
öèåé.

                                     115

Страницы