Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a = ρ
4πρ
2
u(x
0
) =
Z
Γ
ρ
u(x)
σ
ρ 0 a
4
3
πa
3
u(x
0
) =
a
Z
0
Z
Γ
ρ
u(x)
σ
ρ =
Z
B
a
u(x)
x
u(x
0
) =
1
V
a
Z
B
a
u(x)
x, V
a
=
4π
3
a
3
.
u
u
Ω
Ω u ≡
u
u
0
x
0
Ω
u
0
= max
x∈Ω
u(x) = u(x
0
) ≥ u( x) ∀x ∈ Ω .
x
0
Γ
a
a Ω
u
u(x
0
) =
1
4πa
2
Z
Γ
a
u(x)
σ ≤
1
4πa
2
Z
Γ
a
u
0
σ = u
0
.
x Γ
a
u(x) < u(x
0
) u Γ
a
≤ <
u
0
= u(x
0
)
u(x) = u(x
0
) = u
0
∀x ∈ Γ
a
.
a
u u
0
x
0
Ω
u(x) = u
0
Ω y ∈ Ω
x
0
y l Ω
  Ïîëàãàÿ a = ρ, çàïèøåì (3.4) â âèäå
                                     Z
                           2
                       4πρ u(x0) = u(x)dσ                          (3.6)
                                         Γρ

è ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïî ρ îò 0 äî a. Ïîëó÷èì
                                      
                          Za Z
              4 3
                                              Z
                πa u(x0) =  u(x)dσ  dρ = u(x)dx                  (3.7)
                                      
              3
                            0     Γρ                 Ba

èëè
                           1                         4π 3
                                 Z
                   u(x0) =            u(x)dx, Va =      a.         (3.8)
                           Va                         3
                                 Ba

àâåíñòâî (3.8) èìååò ñìûñë îðìóëû î ñðåäíåì çíà÷åíèè ïî øàðó äëÿ
ãàðìîíè÷åñêîé â øàðå óíêöèè u.
   Òåîðåìà 3.4 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ôóíêöèÿ u, ãàðìîíè÷åñêàÿ âíóò-
ðè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω, íå ìîæåò äîñòèãàòü ñâîåãî íàèáîëüøåãî è
íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé âíóòðè îáëàñòè Ω, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà u ≡ onst .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óíêöèÿ u ïðèíèìàåò ñâîå ìàê-
ñèìàëüíîå çíà÷åíèå u0 â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå x0 îáëàñòè Ω, òàê ÷òî
                 u0 = max u(x) = u(x0) ≥ u(x) ∀x ∈ Ω.              (3.9)
                      x∈Ω

Îêðóæèì òî÷êó x0 ñåðîé Γa ìàëîãî ðàäèóñà a, öåëèêîì ëåæàùåé â Ω, è
ïðèìåíèì ê óíêöèè u îðìóëó ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ (3.4). Ó÷èòûâàÿ (3.9),
ïîëó÷èì
                      1               1
                          Z               Z
             u(x0) =        u(x)dσ ≤        u0 d σ = u0 .     (3.10)
                     4πa2            4πa2
                            Γa                  Γa
   Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x ñåðû Γa âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå u(x) < u(x0 ), òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè óíêöèè u íà Γa â îðìóëå
(3.10) âìåñòî çíàêà ≤ ìû èìåëè áû çíàê ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà <. Ïîñëåäíåå
ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ u0 = u(x0 ). Ñëåäîâàòåëüíî,
                      u(x) = u(x0) = u0 ∀x ∈ Γa .                 (3.11)
Èç ïðîèçâîëüíîñòè ðàäèóñà a ñëåäóåò, ÷òî â ïðåäïîëîæåíèè âûïîëíåíèÿ
óñëîâèÿ (3.9) óíêöèÿ u òîæäåñòâåííî ðàâíà êîíñòàíòå u0 âíóòðè è íà
ãðàíèöå âñÿêîãî øàðà ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , öåëèêîì ëåæàùåãî âíóòðè
îáëàñòè Ω.
   Ïîêàæåì, áîëåå òîãî, ÷òî u(x) = u0 âñþäó â Ω. Ïóñòü y ∈ Ω  ïðî-
èçâîëüíàÿ òî÷êà. Ñîåäèíèì x0 ñ y ëîìàíîé ëèíèåé l, ëåæàùåé âíóòðè Ω.

                                       117

Страницы