Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

g ∈ C(Γ) u
Ω
e
u C
2
(Ω
e
) ∩ C(Ω
e
)
Ω
e
Ω
e
Ω Ω
e
= R
n
\Ω
|u(x)| = o(1) |x| → ∞
n ≥ 3
|u(x)| = O(1) |x| → ∞
Ω ⊂ R
2
u(x)
x → ∞
u x
Ω
e
Ω
e
R
n
n ≥ 3 R
2
Ω
e
⊂ R
3
u ∈ C
2
(Ω
e
)
Ω
e
= R
3
\Ω Ω
e
u Ω
e
|u(x)| ≤ max
x∈Γ
|u(x)| ∀x ∈ Ω
e
, Γ = ∂Ω.
M = max
x∈Γ
|u(x)| B
R
R Ω
R Ω ⊂ B
R
|u(x)| < M ∀x ∈ R
3
\B
R
.
Ω
e
Ω
R
= Ω
e
∩ B
R
= B
R
\Ω.
u ∂Ω
R
= Γ ∪ Γ
R
Γ
R
=
∂B
R
|u(x)| ≤ M,
Çäåñü g ∈ C(Γ)  çàäàííàÿ óíêöèÿ. ßñíî, ÷òî óêàçàííàÿ óíêöèÿ u èìå-
åò ñìûñë êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.17), (3.18). Ïîä âíåøíåé çàäà-
÷åé Äèðèõëå ìû ïîíèìàåì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè
Ωe óíêöèè (êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ) u èç ïðîñòðàíñòâà C 2(Ωe) ∩ C(Ωe ),
óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ Ëàïëàñà (3.17) â Ωe, óñëîâèþ Äèðèõëå (3.18)
è óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè.  òîì ñëó÷àå, êîãäà Ωe åñòü
âíåøíîñòü îãðàíè÷åííîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà Ω, ò. å. Ωe = Rn \Ω, óñëî-
âèå ðåãóëÿðíîñòè èìååò âèä

                        |u(x)| = o(1) ïðè |x| → ∞                   (3.19)

â ñëó÷àå n ≥ 3 èçìåðåíèé è âèä

                       |u(x)| = O(1) ïðè |x| → ∞                    (3.20)

â ñëó÷àå, êîãäà Ω ⊂ R2 . Óñëîâèå (3.19) îçíà÷àåò, ÷òî u(x) ðàâíîìåðíî ñòðå-
ìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → ∞, òîãäà êàê óñëîâèå (3.20) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ u ïðè áîëüøèõ x, à ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó íåïðå-
ðûâíîñòè â Ωe , è âñþäó â Ωe. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîå îòëè÷èå â ïîñòàíîâ-
êå âíåøíèõ çàäà÷ Äèðèõëå äëÿ Rn ïðè n ≥ 3 è R2 ñâÿçàíî ñ ïîâåäåíèåì
ðåøåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.
   Ïðåæäå, ÷åì ïðèñòóïèòü ê äîêàçàòåëüñòâó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé âíóò-
ðåííåé è âíåøíåé çàäà÷ Äèðèõëå, äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó, îáîáùàþ-
ùóþ ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé â îðìå (3.14) íà
ñëó÷àé íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ωe ⊂ R3 .
   Ëåììà 3.1. Ïóñòü óíêöèÿ u ∈ C 2 (Ωe ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
(3.17) â îáëàñòè Ωe = R3 \Ω, óñëîâèþ (3.19) è íåïðåðûâíà íà Ωe . Òîãäà
äëÿ óíêöèè u â îáëàñòè Ωe ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ìàêñèìóìà â ñëåäóþùåé
îðìå
                   |u(x)| ≤ max |u(x)| ∀x ∈ Ωe , Γ = ∂Ω.             (3.21)
                           x∈Γ

  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M      = maxx∈Γ |u(x)|. Îáîçíà÷èì ÷åðåç BR øàð
ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè Ω è óñëî-
âèÿ (3.19) ðàäèóñ R ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî Ω ⊂ BR è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

                        |u(x)| < M ∀x ∈ R3 \BR .                    (3.22)

Ââåäåì îãðàíè÷åííóþ ïîäîáëàñòü îáëàñòè Ωe ïî îðìóëå

                         ΩR = Ωe ∩ BR = BR \Ω.                      (3.23)

Èç ñâîéñòâ óíêöèè u âûòåêàåò, ÷òî íà ãðàíèöå ∂ΩR = Γ ∪ ΓR , ãäå ΓR =
∂BR , âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                            |u(x)| ≤ M,                          (3.24)

                                   121

Страницы