Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
e
Ω Ω x
0
x
0
Γ
r
r Ω Γ
R
Ω x
0
Ω
R
Γ
Γ
R
Ω
R
v
R
v
R
(x, x
0
) = M
ln(|x − x
0
|/r)
ln(R/r)
, x ∈ Ω
R
.
§1
v
R
Ω
R
Ω
R
M
Γ
R
Γ
x ∈ Γ
|x −x
0
| > r v
R
Ω
R
u ∂Ω
R
= Γ ∪ Γ
R
|u(x)| ≤ v
R
(x, x
0
),
v
R
u ∂Ω
R
x ∈ Ω
R
R v
R
v
R
(x
0
, x
0
) → 0 R → ∞.
u(x
0
) = 0
x
0
∈ Ω
e
u(x) = 0 Ω
e
⇒ u
1
= u
2
Ω
e
Ω
e
u R
2
Γ
R
K
R
K
R
\{0}
 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Âñïîìíèâ, ÷òî Ωe ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòüþ îòêðûòîãî
îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà Ω, âûáåðåì â Ω ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì òî÷êó x0
è ïîñòðîèì äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 : îêðóæíîñòü Γr ìàëîãî
ðàäèóñà r, öåëèêîì ñîäåðæàùóþñÿ â Ω, è îêðóæíîñòü ΓR äîñòàòî÷íî áîëü-
øîãî ðàäèóñà, öåëèêîì ñîäåðæàùóþ Ω è x0 âíóòðè ñåáÿ (ñì. ðèñ. 3.3).
   Êàê è âûøå, îáîçíà÷èì ÷åðåç ΩR
îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ ãðàíèöåé Γ è
îêðóæíîñòüþ ΓR . Ñëåäóÿ [56, . 324℄,
ðàññìîòðèì â îáëàñòè ΩR âñïîìîãà-
òåëüíóþ óíêöèþ vR , îïðåäåëåííóþ
îðìóëîé
               ln(|x − x0 |/r)
vR (x, x0) = M                 , x ∈ ΩR .
                  ln(R/r)
                                  (3.25)
Èç ðåçóëüòàòîâ §1 âûòåêàåò, ÷òî óíê-
öèÿ vR ãàðìîíè÷íà â ΩR . Êðîìå òî-                  èñ. 3.3
ãî, îíà íåïðåðûâíà â ΩR , ðàâíà M íà
ΓR è ïîëîæèòåëüíà íà Γ. Ïîñëåäíåå
âûòåêàåò èç òîãî àêòà, ÷òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ Γ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
|x − x0| > r. Èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà âûòåêàåò òîãäà , ÷òî vR ïîëîæèòåëü-
íà â ΩR , à èç ñâîéñòâ óíêöèè u âûòåêàåò, ÷òî íà ãðàíèöå ∂ΩR = Γ ∪ ΓR
âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                               |u(x)| ≤ vR (x, x0),               (3.26)
òàê ÷òî vR ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàæîðàíòîé óíêöèè u íà ∂ΩR. Èç
ñëåäñòâèÿ 3.5 âûòåêàåò òîãäà, ÷òî (3.26) âûïîëíÿåòñÿ è â êàæäîé òî÷êå
x ∈ ΩR .
   Ñòàíåì óâåëè÷èâàòü ðàäèóñ R. Èç ñâîéñòâ óíêöèè vR âûòåêàåò, ÷òî
                       vR (x0, x0 ) → 0 ïðè R → ∞.                  (3.27)
Ó÷èòûâàÿ (3.27) è (3.26), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî u(x0 ) = 0. Èç ïðîèçâîëü-
íîñòè òî÷êè x0 ∈ Ωe ñëåäóåò, ÷òî u(x) = 0 â Ωe ⇒ u1 = u2 .
   Çàìå÷àíèå 3.6. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ëåìì 3.13.3 íåÿâíî ïðåäïîëàãà-
ëîñü, ÷òî Ωe ÿâëÿåòñÿ (íåîãðàíè÷åííîé) îáëàñòüþ. Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó
çàìå÷àíèÿ 3.4 óòâåðæäåíèÿ ýòèõ ëåìì îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó-
÷àå, êîãäà Ωe ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò (êàê íà ðèñ. 3.1á).
   Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ u âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå â R2 ìîæíî óñòà-
íîâèòü è äðóãèì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Êåëüâè-
íà îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè ΓR . Îíî ïåðåâîäèò óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ
âíå êðóãà KR , â óíêöèþ, ãàðìîíè÷åñêóþ â îáëàñòè KR \{0}. Îñíîâûâà-
ÿñü íà ýòîì ïîäõîäå, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå áîëåå îáùèå ðåçóëüòàòû
(ñì. [11, . 373℄).

                                   123

Страницы