Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
e
u(x, y) = O(1) (x
2
+ y
2
) → ∞.
ρ, ϕ
∆u ≡
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ
2
∂
2
u
∂ϕ
2
= 0.
u(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).
ρ(ρR
′
)
′
R
= −
Φ
′′
Φ
= λ,
λ
R Φ
ρ(ρR
′
)
′
− λR = 0 (0, a),
Φ
′′
+ λΦ = 0 (0, 2π).
u Φ
Φ(0) = Φ(2π).
λ
λ
k
Φ
k
λ
k
= k
2
, Φ
k
(ϕ) = a
k
coskϕ + b
k
sinkϕ, k = 0, 1, 2, ...
k
λ k
2
ρ
2
R
′′
+ ρR
′
− k
2
R = 0.
è çàäà÷ó 2 (âíåøíþþ çàäà÷ó Äèðèõëå). Ïîñëåäíÿÿ çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäå-
íèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.1) â îáëàñòè Ωe, óäîâëåòâîðÿþùåãî ãðàíè÷íîìó
óñëîâèþ (4.2) è óñëîâèþ íà áåñêîíå÷íîñòè

                 u(x, y) = O(1)    ïðè        (x2 + y 2 ) → ∞.      (4.3)

   Â ñèëó ëåììû 3.3 ðåøåíèå êàæäîé èç ýòèõ çàäà÷ åäèíñòâåííî. Ïîýòîìó
çàéìåìñÿ çäåñü íàõîæäåíèåì óêàçàííûõ ðåøåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà
Ôóðüå. Ïðåæäå âñåãî ââåäåì íà ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ρ, ϕ è
çàïèøåì óðàâíåíèå (4.1) ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ êîîðäèíàò â âèäå

                                          1 ∂ 2u
                                     
                          1 ∂      ∂u
                    ∆u ≡         ρ      + 2 2 = 0.               (4.4)
                          ρ ∂ρ     ∂ρ    ρ ∂ϕ
Áóäåì èñêàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.4) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ

                           u(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).                      (4.5)

Ïîäñòàâëÿÿ (4.5) â (4.4) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì
                           ρ(ρR′ )′    Φ′′
                                    =−     = λ,                     (4.6)
                             R         Φ
ãäå λ  êîíñòàíòà. Îòñþäà ïðèõîäèì ê äâóì îáûêíîâåííûì äèåðåíöè-
àëüíûì óðàâíåíèÿì äëÿ óíêöèé R è Φ, èìåþùèì âèä

                      ρ(ρR′ )′ − λR = 0        â   (0, a),          (4.7)

                        Φ′′ + λΦ = 0      â     (0, 2π).            (4.8)
    ñèëó îäíîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ u çàäà÷è 1 óíêöèÿ Φ äîëæíà óäîâëå-
òâîðÿòü óñëîâèþ (ïåðèîäè÷íîñòè)

                              Φ(0) = Φ(2π).                         (4.9)

àâåíñòâà (4.8), (4.9) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Îíà çà-
êëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ÷èñåë λ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.8), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (4.9). Ïðîñòîé àíàëèç
ïîêàçûâàåò, ÷òî åå ðåøåíèå, ò. å. ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λk è óíêöèè Φk ,
èìååò âèä

       λk = k 2 , Φk (ϕ) = ak coskϕ + bk sinkϕ, k = 0, 1, 2, ...   (4.10)

(îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ k íå äàþò íîâûõ ðåøåíèé).
   Çàìåíèì â (4.7) λ íà k 2 . Ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå Ýéëåðà

                          ρ2 R′′ + ρR′ − k 2 R = 0.                (4.11)

                                    125

Страницы