Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
Ω
e
Γ
1
2
Γ
Γ
Ω
Ω
e
u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) Ω
u = g
1
Γ
1
,
∂u
∂n
+ au = g
2
Γ
2
.
u ∈
C
2
(Ω
e
)
∩C
1
(
Ω
e
) Ω
e
u ∈ C
2
(Ω) ∩C(Ω)
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C(Ω
e
)
u = u
2
− u
1
Ω Ω
e
Ω
Ω
e
Γ
u ˜u
C
2
(Ω) ∩ C(Ω)
u|
Γ
= g ˜u|
Γ
= ˜g
|g(x) − ˜g(x)| ≤ ε ∀x ∈ Γ.
|u(x) − ˜u(x)| ≤ ε Ω.
     Γ                    Ωe                         Γ1

                                               Ωe
                 Ω
                                                               Ω


                                                                   Γ2

                     à)                                   á)
                                    èñ. 5.1


  4.1. Âíóòðåííÿÿ ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Íàéòè óíêöèþ
u ∈ C 2(Ω) ∩ C 1(Ω), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â Ω è ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì
                                   ∂u
                    u = g1 íà Γ1 ,    + au = g2 íà Γ2.           (5.6)
                                   ∂n
    4.2. Âíåøíÿÿ ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Íàéòè óíêöèþ u ∈
  2
C (Ωe)
∩C 1(Ωe ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (5.1) â Ωe, ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
(5.6) è óñëîâèþ (5.3).
    Çàìå÷àíèå 5.1. Ñìåøàííàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå îáùåé
â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáàÿ äðóãàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ åå ÷àñòíûì ñëó-
÷àåì.
  5.2. Òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé êðàå-
âûõ çàäà÷.     Ïðèâåäåì ðÿä òåîðåì, îïèñûâàþùèõ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,
ïðè êîòîðûõ ðåøåíèÿ ñîðìóëèðîâàííûõ çàäà÷ îáëàäàþò ñâîéñòâîì åäèí-
ñòâåííîñòè.
   Òåîðåìà 5.1. åøåíèå u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå
ëèáî u ∈ C 2 (Ωe) ∩ C(Ωe ) âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå åäèíñòâåííî.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå äîêàçàòåëü-
ñòâà ëåììû 3.2 ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ðàçíîñòü u = u2 − u1 äâóõ âîçìîæíûõ
ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà â Ω èëè Ωe, íåïðåðûâíà â Ω
ëèáî Ωe, ðàâíà íóëþ íà Γ è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ðåãóëÿðíîñòè äëÿ âíåø-
íåé çàäà÷è.
   Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü u è ũ  ðåøåíèÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå èç
ïðîñòðàíñòâà C 2 (Ω) ∩ C(Ω) ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ
                               u|Γ = g è ũ|Γ = g̃                      (5.7)
è ïóñòü
                      |g(x) − g̃(x)| ≤ ε ∀x ∈ Γ.                        (5.8)
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
                          |u(x) − ũ(x)| ≤ ε íà Ω.                      (5.9)

                                      139

Страницы