Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Z
Ω
R
|∇u|
2
dx =
Z
Γ
∂u
∂n
udσ +
Z
Γ
R
∂u
∂n
udσ.
n ∂Ω
R
Ω
R
Ω
Γ
Γ
n
B
n
R
R
Ω
R
R
3
|∇u|
2
|x| → ∞
|x|
−4
Ω
R
R = |x|
R
3
R → ∞
R
Ω
e
|∇u|
2
dx
Ω
e
R
Γ
R
(∂u/∂n)udσ
R → ∞
(u∂u/∂n)|
Γ
R
R → ∞
O(R
−3
) Γ
R
4πR
2
/3
R
2
R → ∞
∂u/∂n = 0 Γ
R
Ω
e
|∇u|
2
dx = 0
Ω
e
u = u
0
= const
u
0
= 0 ⇒ u
1
= u
2
a
(i) a ∈ C(Γ), a ≥ 0 Γ,
R
Γ
adσ > 0
(i) u ∈ C
2
(Ω) ∩C
1
(Ω)
u
1
u
2
u = u
2
−u
1
∆u = 0 Ω ∂u/∂n = −au Γ
Z
Ω
|∇u|
2
dx +
Z
Γ
au
2
dσ = 0.
a ≥ 0 |∇u| = 0 Ω ⇒ u = u
0
=
const
u = u
0
u
2
0
Z
Γ
adσ = 0.
èìåòü
                                        ∂u              ∂u
                  Z                 Z              Z
                       |∇u|2 dx =          udσ +           udσ.    (5.12)
                                        ∂n              ∂n
                  ΩR                Γ              ΓR
Çäåñü â îáîèõ ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëàõ n îáîçíà÷àåò íîðìàëü ê ãðàíèöå ∂ΩR ,
âíåøíþþ îòíîñèòåëüíî ΩR .
   Â ñèëó ëåììû 4.3 î ïîâåäåíèè ãàðìî-
íè÷åñêîé óíêöèè íà áåñêîíå÷íîñòè â R3                             n
ïîäèíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ |∇u|2 â ëåâîé                   ΩR
÷àñòè (5.12) óáûâàåò ïðè |x| → ∞ íå ìåä-
ëåííåå, ÷åì |x|−4 , òîãäà êàê îáúåì îáëà-
                                                   Γ    n            ΓR
ñòè ΩR ðàñòåò ñ ðîñòîì R = |x| ëèøü êàê                  Ω B
R3 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè R → ∞ ñîá-                          R
ñòâåííûé èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè (5.12)
ñòðåìèòñÿ ê íåñîáñòâåííîìó    (ñõîäÿùåìó-
ñÿ) èíòåãðàëó Ωe |∇u| dx ïî îáëàñòè Ωe.
                        2
               R

 òî æå âðåìÿ èíòåãðàë ΓR (∂u/∂n)udσ                  èñ. 5.2
                           R

ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè R → ∞. Äåéñòâè-
òåëüíî, â ñèëó òîé æå ëåììû 4.3 âåëè÷èíà (u∂u/∂n)|ΓR óáûâàåò ïðè R → ∞
êàê O(R−3 ), òîãäà êàê ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ΓR , ðàâíàÿ 4πR2 /3, ðàñòåò
êàê R2 . Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿR â (5.12) ê ïðåäåëó ïðè R → ∞ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
∂u/∂n = 0 íà Γ, ïîëó÷èì Ωe |∇u|2dx = 0. Îòñþäà âûòåêàåò ñ ó÷åòîì ñâÿç-
íîñòè Ωe , ÷òî u = u0 = const, à èç óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè íà áåñêîíå÷íîñòè
ñëåäóåò, ÷òî u0 = 0 ⇒ u1 = u2 .
   Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷å. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîý-
èöèåíò a â (5.5) óäîâëåòâîðÿåòR óñëîâèÿì
   (i) a ∈ C(Γ), a ≥ 0 íà Γ,     adσ > 0.
                              Γ
  Òåîðåìà 5.6.    Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ðåøåíèå u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1(Ω)
âíóòðåííåé òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è (5.1), (5.5) åäèíñòâåííî.
  Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, êàê âñåãäà, ÷òî çàäà÷à (5.1), (5.5)
èìååò äâà ðåøåíèÿ: u1 è u2 . Ïðèìåíÿÿ ê èõ ðàçíîñòè u = u2 − u1 îðìóëó
 ðèíà (2.5), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (5.10). Ïîñëåäíåå ñ ó÷åòîì óñëîâèé
∆u = 0 â Ω, ∂u/∂n = −au íà Γ ïåðåïèøåì â âèäå
                       Z            Z
                         |∇u| dx + au2dσ = 0.
                               2
                                                                   (5.13)
                        Ω                Γ

Ïîñêîëüêó a ≥ 0, òî èç (5.13) ïîëó÷àåì, ÷òî |∇u| = 0 â Ω ⇒ u = u0 =
const. Ïîäñòàâëÿÿ u = u0 â (5.13), áóäåì èìåòü
                                 Z
                              u20 adσ = 0.                    (5.14)
                                    Γ

                                        141

Страницы