Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

measΓ
2
≥ 0
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩ C
1
(Ω
e
)
R
2
u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω)
Z
Ω
∆udx = −
Z
Ω
fdx.
u v ≡ 1
R
Ω
fdx = −
R
Γ
(∂u/∂n)dσ
∂u/∂n = g Γ
Z
Ω
fdx +
Z
Γ
gdσ = 0.
u ∈ C
2
(Ω) ∩C
1
(Ω)
f = 0
Z
Γ
gdσ = 0.
Ω
u
−
R
Γ
∂u/∂ndσ
  Òåîðåìà 5.10.      Ïóñòü measΓ2 ≥ 0 è âûïîëíÿåòñÿ îäíà èç ãðóïïû óñëî-
âèé (ii) èëè (iii). Òîãäà ðåøåíèå u ∈ C 2 (Ωe) ∩ C 1 (Ωe) âíåøíåé ñìåøàííîé
êðàåâîé çàäà÷è (5.1), (5.6), (5.19) â R2 åäèíñòâåííî.
  5.4. Íåêîòîðûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé
êðàåâûõ çàäà÷.     Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèé ñîðìóëèðîâàííûõ â
ï. 5.1 êðàåâûõ çàäà÷ â ïðîèçâîëüíûõ îáëàñòÿõ èññëåäóåòñÿ ãîðàçäî ñëîæ-
íåå, ÷åì âîïðîñ î åäèíñòâåííîñòè. Íå èìåÿ íèæå âîçìîæíîñòè ïîäðîáíî
îñòàíàâëèâàòüñÿ íà èññëåäîâàíèè ðàçðåøèìîñòè óêàçàííûõ êðàåâûõ çàäà÷,
îòìåòèì êíèãè [8,11,13,23,48℄, â êîòîðûõ èíòåðåñóþùèéñÿ ÷èòàòåëü ìîæåò
íàéòè íóæíûå åìó ñâåäåíèÿ î èõ ðàçðåøèìîñòè. Çäåñü æå ìû êîñíåìñÿ, â
îñíîâíîì, íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ âíóòðåííåé çàäà-
÷è Íåéìàíà.
   Èòàê, ðàññìîòðèì âíóòðåííþþ çàäà÷ó Íåéìàíà (5.1), (5.4). Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω)  åå ðåøåíèå, è ñóùåñòâóåò èíòåãðàë
                            Z             Z
                               ∆udx = − f dx.                      (5.20)
                            Ω              Ω

Ïðèìåíÿÿ êR óíêöèÿì u R è v ≡ 1 âòîðóþ îðìóëó ðèíà (2.7), èìååì â
ñèëó (5.20) Ω f dx = − Γ (∂u/∂n)dσ . Ïîñêîëüêó ∂u/∂n = g íà Γ â ñèëó
ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (5.4), òî îòñþäà ïîëó÷àåì
                           Z       Z
                             f dx + gdσ = 0.                   (5.21)
                           Ω         Γ

(5.21) è ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ âíóòðåí-
íåé çàäà÷è Íåéìàíà. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå ñëåä-
ñòâèÿ.
   Ñëåäñòâèå 5.1. Ïóñòü óíêöèÿ u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1(Ω) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà (5.1), (5.4), è ñóùåñòâóåò èíòåãðàë (5.20). Òîãäà
íåîáõîäèìî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (5.21).
    ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà f = 0, óðàâíåíèå (5.1) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå
Ëàïëàñà, à (5.21) ïðèíèìàåò âèä
                              Z
                                  gdσ = 0.                            (5.22)
                                 Γ

Ñîîòíîøåíèå (5.22) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøå-
íèÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.
   Ñîîòíîøåíèÿ (5.21) è (5.22) èìåþò íàãëÿäíûé èçè÷åñêèé ñìûñë. Äåé-
ñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñèòóàöèþ, êîãäà óðàâíåíèå (5.1) îïè-
ñûâàåò ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â îáëàñòè Ω, òàê ÷òî
óíêöèÿ u îïèñûâàåò ñòàöèîíàðíîå R ïîëå òåìïåðàòóð. Òîãäà â ñèëó çàêî-
íà Ôóðüå (ñì. ãë. 1) èíòåãðàë − Γ ∂u/∂ndσ ïðîïîðöèîíàëåí êîëè÷åñòâó

                                     144

Страницы