Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

[(a
k
−ib
k
)(x+iy)
k
] =
ρ
k
(a
k
cos kϕ + b
k
sin kϕ) a
a
u(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
[(a
k
− ib
k
)(x + iy)
k
].
a
0
2
+
∞
X
k=0
∞
X
l=0
[(a
k+1
− ib
k+1
)C
l
k+l
i
l
x
k
y
l
].
C
l
k+l
k
2
+ l
2
6= 0 C
l
k+l
<
2
k+l
a
k
b
k
M
|x| < 1/2 |y| < 1 /2
2M
∞
X
k=0
∞
X
l=0
2
k+l
|x|
k
|y|
l
.
(0, 0)
u
u
(0, 0) u
x y u (0, 0)
Ω
u
1
, u
2
, ..., u
n
, ...
Ω
Ω Γ Ω
Ω u
Ω
Γ ε > 0
N m, n > N Γ |u
n
(x) −u
m
(x)| < ε
m, n |u
n
(x)−u
m
(x)| <
ε
Ω
u ∈ C(Ω) Ω
u = lim
n→∞
u
n
Ω
Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå, ëåãêî ïîêàçûâàåì, ÷òî Re[(ak − ibk )(x +iy)k ] =
ρk (ak cos kϕ + bk sin kϕ). Çäåñü è íèæå Rea îáîçíà÷àåò âåùåñòâåííóþ ÷àñòü
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a. C ó÷åòîì ýòîãî ðÿä (6.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                 ∞
                         a0 X
                  u(x) =   +  Re[(ak − ibk )(x + iy)k ].              (6.2)
                         2
                                k=1

  àññìîòðèì òåïåðü ðÿä
                       ∞   ∞
                 a0 X X                    l
                   +    Re[(ak+1 − ibk+1 )Ck+l il xk y l ].           (6.3)
                 2
                      k=0 l=0

Çäåñü Ck+l
        l
            áèíîìèàëüíûå êîýèöèåíòû ïðè k 2 + l2 6= 0. Òàê êàê Ck+l
                                                                   l
                                                                       <
2 , à ak è bk îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ êîíñòàíòîé M , òî ðÿä (6.3) ìàæîðè-
 k+l

ðóåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ïðè |x| < 1/2, |y| < 1/2 ðÿäîì
                                ∞ X
                                X ∞
                           2M             2k+l |x|k |y|l .            (6.4)
                                k=0 l=0

Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (6.3) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ÷àñòíûå ñóììû ðÿäà (6.2)
îáðàçóþò íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòíûõ ñóìì àáñîëþòíî ñõîäÿ-
ùåãîñÿ ðÿäà (6.3). Ïîñêîëüêó ðÿä (6.2) ñõîäèòñÿ ê óíêöèè u, òî ñòåïåííîé
ðÿä (6.3) òàêæå áóäåò ñõîäèòüñÿ ê óíêöèè u â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷-
êè (0, 0). Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî óíêöèÿ u ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä
ïî x è y , ñõîäÿùèéñÿ ê u â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0) .
   àññìîòðèì â Ω ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãàðìîíè÷åñêèõ óíêöèé
                                u1, u2, ..., un, ...                  (6.5)
  Òåîðåìà 6.2. (Òåîðåìà       àðíàêà). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíêöèé
(6.5), ãàðìîíè÷åñêèõ âíóòðè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω è íåïðåðûâíûõ íà
Ω , ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω, òî îíà ðàâíîìåðíî
ñõîäèòñÿ è âíóòðè Ω. Ïðåäåëüíàÿ óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé
âíóòðè îáëàñòè Ω .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (6.5) ñõîäèòñÿ ðàâíî-
ìåðíî íà ãðàíèöå Γ, òî ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ âñÿêîãî ε > 0 íàéäåò-
ñÿ òàêîå öåëîå N , ÷òî ïðè m, n > N âñþäó íà Γ |un (x) − um(x)| < ε. Â ñèëó
ñëåäñòâèÿ 3.6 ê ïðèíöèïó ìàêñèìóìà äëÿ ýòèõ m, n èìååì |un (x)−um(x)| <
ε âñþäó â Ω. Íî òîãäà íà îñíîâàíèè äîñòàòî÷íîñòè êðèòåðèÿ Êîøè ìû çà-
êëþ÷àåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (6.5) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê íåêîòîðîé
óíêöèè u ∈ C(Ω) â çàìêíóòîé îáëàñòè Ω. Îñòà¼òñÿ ëèøü äîêàçàòü, ÷òî
ïðåäåëüíàÿ óíêöèÿ u = limn→∞ un ãàðìîíè÷íà âíóòðè Ω.

                                        146

Страницы