Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v
n,p
(R + ε, ψ) ≥ 0
1
2π
R + ε −ρ
R + ε + ρ
2π
Z
0
v
n,p
(R+ε, ψ)dψ ≤ v
n,p
(ρ, ϕ) ≤
1
2π
R + ε + ρ
R + ε − ρ
2π
Z
0
v
n,p
(R+ε, ψ)dψ.
R
2
(1/2π)
R
2π
0
v
n,p
(R + ε, ψ)dψ = v
n,p
(x
0
)
R + ε − ρ
R + ε + ρ
v
n,p
(x
0
) ≤ v
n,p
(x) ≡ v
n,p
(ρ, ϕ) ≤
R + ε + ρ
R + ε − ρ
v
n,p
(x
0
) ∀x ∈
K
0
.
v
n,p
(x
0
) → 0 n, p → ∞
u
n
K
0
u K
0
y
Ω x
0
l
Ω
l x
0
y
Ω
δ
K
0
l x
1
K
1
δ/2
u
n
K
0
x
1
u
n
K
1
K
2
δ/2 K
2
l
K
1
K
i
(i = 0, 1, ..., N)
l y K
N
l y
u
n
K
i
K
N
y
u
n
Ω
0
Ω Ω
0
K
1
, ..., K
N
Ω u
n
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå vn,p(R + ε, ψ) ≥ 0, âûâîäèì èç (6.8) è (6.9), ÷òî
               Z2π                                                Z2π
 1 R+ε−ρ                                            1 R+ε+ρ
                     vn,p(R+ε, ψ)dψ ≤ vn,p(ρ, ϕ) ≤                      vn,p (R+ε, ψ)dψ.
2π R + ε + ρ                                       2π R + ε − ρ
               0                                                  0

Íî â ñèëó îðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèè â R2 â (3.16)
       R 2π
(1/2π) 0 vn,p(R + ε, ψ)dψ = vn,p(x0). Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïðèõîäèì ê íåðàâåí-
ñòâó
   R+ε−ρ                                        R+ε+ρ
             vn,p (x0) ≤ vn,p(x) ≡ vn,p(ρ, ϕ) ≤       vn,p(x0) ∀x ∈ K 0.
   R+ε+ρ                                        R+ε−ρ
                                                                      (6.10)
Èç óñëîâèé òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òî vn,p (x0 ) → 0 ïðè n, p → ∞. Èç (6.10)
òîãäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â K 0 . Îò-
ñþäà âûòåêàåò ñ ó÷åòîì ïåðâîé òåîðåìû àðíàêà, ÷òî ïðåäåëüíàÿ óíêöèÿ
u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé âíóòðè K0.
   ×òîáû äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (6.5) â ëþáîé òî÷êå y
îáëàñòè Ω, ñîåäèíèì ýòó òî÷êó ñ x0 ëîìàíîé l, ñîñòîÿùåé èç êîíå÷íîãî ÷èñ-
ëà çâåíüåâ è ëåæàùåé öåëèêîì âíóòðè Ω; ýòî âîçìîæíî ïî îïðåäåëåíèþ
îáëàñòè. Ëîìàíàÿ l âìåñòå ñ òî÷êàìè x0 è y åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
Òàê êàê îíà íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ ãðàíèöåé îáëàñòè Ω, òî îíà íàõîäèòñÿ
íà ïîëîæèòåëüíîì ðàññòîÿíèè δ îò ýòîé ãðàíèöû, êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåò-
ñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Âîçüìåì òåïåðü íà ïåðåñå÷åíèè îêðóæíîñòè
K0 ñ ëèíèåé l òî÷êó x1. Âîêðóã ýòîé òî÷êè, êàê öåíòðà, îïèøåì êðóã K1
ðàäèóñà δ/2. Èç äîêàçàííîé âûøå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè un â êðóãå K0 âûòåêàåò åå ñõîäèìîñòü â òî÷êå x1 . Äîñëîâíî ïîâòîðÿÿ
ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ, ïîêàçûâàåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un
ñõîäèòñÿ è â êðóãå K1 . Òî÷íî òàê æå îíà ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â êðóãå K2
ðàäèóñà δ/2 è íà åãî ãðàíèöå, åñëè öåíòð K2 ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè l ñ
îêðóæíîñòüþ K1 . Êîíå÷íûì ÷èñëîì òàêèõ êðóãîâ Ki (i = 0, 1, ..., N ) ìîæ-
íî ïîêðûòü âñþ ëèíèþ l è ïðè÷åì òàê, ÷òîáû òî÷êà y ëåæàëà âíóòðè KN .
Îòñþäà áóäåò âûòåêàòü, ÷òî íà âñåé ëèíèè l è, â ÷àñòíîñòè, â òî÷êå y ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü un ñõîäèòñÿ. Òàê êàê â êàæäîì èç êðóãîâ Ki è, â ÷àñòíîñòè,
â KN ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, òî ïî ïåðâîé òåîðåìå
 àðíàêà ïðåäåëüíàÿ óíêöèÿ áóäåò ãàðìîíè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè y.
   Îñòàëîñü äîêàçàòü òåïåðü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un ðàâíîìåðíî ñõî-
äèòñÿ íà âñÿêîì çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå Ω0 , ëåæàùåì âíóò-
ðè Ω. Ïî òåîðåìå åéíå-Áîðåëÿ ìíîæåñòâî Ω0 ìîæíî ïîêðûòü êîíå÷íûì
÷èñëîì êðóãîâ K1 , ..., KN , ëåæàùèõ âìåñòå ñî ñâîèìè ãðàíèöàìè âíóòðè
Ω. Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó âûøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü un ñõîäèòñÿ â öåíòðå
êàæäîãî èç ýòèõ êðóãîâ. Ñ ó÷åòîì ýòîãî, ïîâòîðÿÿ ïðèâåäåííûå âûøå ðàñ-
ñóæäåíèÿ, ïîêàçûâàåì, ÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ â

                                         148

Страницы