Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε
v(x
0
) = 0
v(x
0
) = 0
u(x
0
) = u
1
(x
0
) x
0
u
K u
1
u x
0
x
0
u
x
|u(x)| ≤ µ(x) ln
1
|x − x
0
|
.
µ(x) → 0 x → x
0
u
x
0
u
x
0
x
0
u Ω
Ω
u
Ω u
Ω u Ω
M = sup
x∈Ω
u(x)
u Ω
x
1
Ω R Ω
x
1
R v
ε
(x, x
1
) = M + ε ln(R/|x −
x
1
|) Ω
δ
Ω
x
1
δ
u(x) < v
ε
(x) δ
u(x) < v
ε
(x) Ω
δ
ε u(x) < M
x Ω
δ
u(x) > m
m = inf
x∈Γ
u(x)
n
n > 2
|u(x)| ≤ µ(x)|x − x
0
|
2−n
µ(x) → 0 x → x
0
Óñòðåìèì ε ê íóëþ. Òîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü â (6.14) òàêæå áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê
íóëþ.  òàêîì ñëó÷àå èç (6.14) áóäåò âûòåêàòü, ÷òî v(x0 ) = 0.
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îñòàëîñü ïðèíÿòü v(x0 ) = 0, ò. å. ïîëîæèòü
u(x0) = u1(x0). Äîîïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì â x0 óíêöèÿ u áóäåò ñîâ-
ïàäàòü âñþäó â K ñ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé u1 .
   Çàìå÷àíèå 6.1. Òåîðåìà 6.7 âåðíà â áîëåå îáùåé îðìóëèðîâêå, à
èìåííî: ïóñòü u  ãàðìîíè÷åñêàÿ óíêöèÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , çà èñ-
êëþ÷åíèåì ñàìîé òî÷êè x0 , ãäå u íå îïðåäåëåíà, è ïóñòü äëÿ ëþáîé òî÷êè
x èç ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
                                              1
                        |u(x)| ≤ µ(x) ln             .             (6.15)
                                           |x − x0 |
Çäåñü µ(x) → 0, êîãäà x → x0 . Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ óíêöèþ u ìîæíî
îïðåäåëèòü â òî÷êå x0 òàê, ÷òîáû u ÿâëÿëàñü ãàðìîíè÷åñêîé âî âñåé ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , â òîì ÷èñëå è â ñàìîé òî÷êå x0 . Äî-
êàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.7.
    Ñëåäñòâèå 6.2. Ïóñòü u  îãðàíè÷åííàÿ è ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω
óíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ âî âñåõ òî÷êàõ ãðàíèöû Ω, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷-
íîãî ÷èñëà òî÷åê. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ óíêöèÿ u íå ìîæåò âíóòðè îáëàñòè
Ω ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, áîëüøèå, ÷åì âåðõíÿÿ ãðàíü çíà÷åíèé u íà ãðàíèöå
îáëàñòè Ω, è ìåíüøèå, ÷åì íèæíÿÿ ãðàíü çíà÷åíèé u íà ãðàíèöå Ω.
    Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü M = supx∈Ω u(x). Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì,
÷òî u íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ãðàíèöû Ω, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîé òî÷êè
x1 . Ïóñòü äèàìåòð îáëàñòè Ω ðàâåí R, òàê ÷òî âñå òî÷êè Ω îòñòîÿò îò
x1 íå áîëüøå, ÷åì íà R. Ïîñòðîèì óíêöèþ vε(x, x1 ) = M + ε ln(R/|x −
x1 |). àññìîòðèì îáëàñòü Ωδ , ñîñòîÿùóþ èç òî÷åê îáëàñòè Ω, ðàññòîÿíèå
îò êîòîðûõ äî x1 áîëüøå δ . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî íà ãðàíèöå ýòîé îáëàñòè
u(x) < vε(x), åñëè δ äîñòàòî÷íî ìàëî.  ñèëó ïðèíöèïà ìàêñèìóìà òîãäà
èìååì u(x) < vε (x) â Ωδ . Óñòðåìëÿÿ ε ê íóëþ, ïîëó÷àåì, ÷òî u(x) < M
â ëþáîé òî÷êå x îáëàñòè Ωδ . Òî÷íî òàê æå âûâîäèì, ÷òî u(x) > m, ãäå
m = inf x∈Γ u(x).
    Çàìå÷àíèå 6.2. Âñå äîêàçàííûå â íàñòîÿùåì ïàðàãðàå ñâîéñòâà ãàð-
ìîíè÷åñêèõ óíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ ñîõðàíÿþòñÿ äëÿ ãàðìîíè÷å-
ñêèõ óíêöèé ëþáîãî ÷èñëà n ïåðåìåííûõ è ìîãóò áûòü äîêàçàíû àíà-
ëîãè÷íî. Ïðè ýòîì óñëîâèå (6.15) â ñëó÷àå n > 2 çàìåíÿåòñÿ óñëîâèåì
|u(x)| ≤ µ(x)|x − x0 |2−n, ãäå µ(x) → 0, êîãäà x → x0.




                                   151

Страницы