Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u = Aρ C
2
(Ω)
Ω
x ∈ Ω
Γ Ω
Γ Ω
∂u/∂x
i
∂E
n
/∂x
i
= −∂E
n
/∂y
i
∂u(x)
∂x
i
= −
Z
Ω
∂
∂y
i
E
n
(x, y)ρ(y)dy =
=
Z
Ω
E
n
(x, y)
∂ρ(y)
∂y
i
dy −
Z
Γ
E
n
(x, y)ρ(y)cos(n
y
, y
i
)dσ
y
.
n
y
Γ y
dσ
y
y
x ∈ Ω
E
n
(x, y) x 6= y ∈ Γ
x
i
∂ρ/∂y
i
Ω
∂
∂x
i
Z
Ω
E
n
(x, y)
∂ρ(y)
∂y
i
dy =
Z
Ω
∂E
n
(x, y)
∂x
i
∂ρ(y)
∂y
i
dy .
u ∈ C
2
(Ω)
∂
2
u(x)
∂x
2
i
=
Z
Ω
∂E
n
(x, y)
∂x
i
∂ρ(y)
∂y
i
dy −
Z
Γ
∂E
n
(x, y)
∂x
i
ρ(y)cos(n
y
, y
i
)dσ
y
=
= −
Z
Ω
∂E
n
(x, y)
∂y
i
∂ρ(y)
∂y
i
dy+
Z
Γ
∂E
n
(x, y)
∂y
i
ρ(y)cos(n
y
, y
i
)dσ
y
, x ∈ Ω.
Γ Ω
Ω
′
⊂ Ω
Γ
′
x
∂u(x)
∂x
i
= −
Z
Ω
′
∂
∂y
i
E
n
(x, y)ρ(y)dy −
Z
Ω\Ω
′
∂
∂y
i
E
n
(x, y)ρ(y)dy.
  Ëåììà 1.2.     Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (iii) îáúåìíûé ïîòåíöèàë
u = Aρ ïðèíàäëåæèò êëàññó C 2(Ω), ò. å. ÿâëÿåòñÿ äâàæäû íåïðåðûâ-
íî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé âíóòðè îáëàñòè Ω.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ Ω  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ïðåäïîëîæèì
ñíà÷àëà, ÷òî ãðàíèöà Γ îáëàñòè Ω îáëàäàåò ãëàäêîñòüþ, íåîáõîäèìîé äëÿ
ïðèìåíåíèÿ îðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (2.4) èç ãë. 6, íàïðèìåð:
   (iv) ãðàíèöà Γ îáëàñòè Ω ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé.
Îáðàòèìñÿ ê îðìóëå (1.10) äëÿ ∂u/∂xi. Ó÷èòûâàÿ ñîãëàñíî (1.3), ÷òî
∂En/∂xi = −∂En/∂yi, è ïðèìåíÿÿ óêàçàííóþ îðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ,
ïåðåïèøåì (1.10) â âèäå
                    ∂u(x)         ∂
                              Z
                          =−         En (x, y)ρ(y)dy =
                     ∂xi         ∂yi
                                      Ω

                            ∂ρ(y)
              Z                          Z
          =       En (x, y)       dy −        En (x, y)ρ(y)cos(ny , yi)dσy .   (1.17)
                             ∂yi
              Ω                           Γ
Çäåñü ny  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè Γ â òî÷êå y,
dσy  ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, îòíîñÿùèéñÿ ê òî÷êå y.
   Ïðè x ∈ Ω âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (1.17) èìååò (â ñèëó áåñ-
êîíå÷íîé äèåðåíöèðóåìîñòè óíêöèè En (x, y) ïðè x 6= y ∈ Γ) íåïðå-
ðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî xi , êîòîðûå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû äèåðåíöè-
ðîâàíèåì ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Ââèäó íåïðåðûâíîñòè è îãðàíè÷åííîñòè
∂ρ/∂yi â îáëàñòè Ω è ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé îðìóëû èìååò
â ñèëó ëåììû 1.1 íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå 1-ãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì
              ∂              ∂ρ(y)        ∂En(x, y) ∂ρ(y)
                 Z                      Z
                   En (x, y)       dy =                   dy.     (1.18)
             ∂xi              ∂yi            ∂xi     ∂yi
                       Ω                             Ω

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî u ∈ C 2 (Ω) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (iii), (iv), ïðè÷åì
    ∂ 2u(x)      ∂En(x, y) ∂ρ(y)        ∂En(x, y)
              Z                       Z
         2  =                    dy −             ρ(y)cos(ny , yi)dσy =
      ∂xi           ∂xi      ∂yi           ∂xi
                   Ω                             Γ

          ∂En(x, y) ∂ρ(y)             ∂En(x, y)
      Z                           Z
 =−                       dy+                   ρ(y)cos(ny , yi)dσy , x ∈ Ω. (1.19)
            ∂yi      ∂yi                ∂yi
      Ω                           Γ
    Åñëè æå ãðàíèöà Γ íå îáëàäàåò íóæíîé ãëàäêîñòüþ, òî âûäåëèì â Ω
ïðîèçâîëüíóþ ñòðîãî âíóòðåííþþ ïîäîáëàñòü Ω′ ⊂ Ω ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé
Γ′ , ñîäåðæàùóþ òî÷êó x, è ïåðåïèøåì ïåðâîå ðàâåíñòâî â (1.17) â âèäå
          ∂u(x)       ∂                       ∂
                   Z                      Z
                =−       En(x, y)ρ(y)dy −        En (x, y)ρ(y)dy.
           ∂xi       ∂yi                     ∂yi
                           Ω′                            Ω\Ω′

                                               156

Страницы