Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
ε
Z
Ω
ε
3
X
i=1
∂ρ(y)
∂y
i
∂E(x, y)
∂y
i
dy =
3
X
i=1
Z
Ω
ε
∂
∂y
i
ρ(y)
∂E(x, y)
∂y
i
dy =
=
Z
Γ
ρ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
+
Z
Γ
ε
ρ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
.
Γ
ε
B
ε
(x) n
y
Ω
ε
n
y
= (x − y)/|x − y| Γ
ε
(x)
∂E(x, y)
∂n
y
=
1
4π
∇
y
1
|x − y|
· n
y
=
(x − y) · n
y
4π|x − y|
3
=
1
4π|x − y|
2
Γ
ε
(x).
∆u(x) = −lim
ε→0
Z
Γ
ε
ρ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
= −lim
ε→0
Z
|y−x|=ε
ρ(y)dσ
y
4π|y − x|
2
=
= −lim
ε→0
Z
|y−x|=ε
ρ(y) − ρ(x)
4πε
2
dσ
y
− ρ(x) lim
ε→0
Z
|y−x|=ε
dσ
y
4πε
2
.
R
|y−x|=ε
dσ
y
= 4πε
2
∀ε > 0
|ρ(y) − ρ(x)| ≤ sup
y∈
Ω
|∇ρ(y)||y −x| ≤ M
1
|y − x| ∀x ∈
Ω
Z
Γ
ε
ρ(y) − ρ(x)
4πε
2
dσ
y
≤
M
1
4π
Z
Γ
ε
|x − y|
ε
2
dσ
y
≤ M
1
ε
ε → 0.
ε → 0
Ω
x
0
∈ Ω u(x)
u(x) =
Z
Ω
R
E(x, y)ρ(y)dy +
Z
B
R
(x
0
)
E(x, y)ρ(y)dy, x ∈ B
R
(x
0
),
B
R
(x
0
) Ω Ω
R
≡ Ω
R
(x
0
) = Ω \ B
R
(x
0
)
B
R
(x
0
)
Ó÷èòûâàÿ (1.23) è ïðèìåíÿÿ îðìóëó àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî (2.2) èç ãë. 6
äëÿ îáëàñòè Ωε, èìååì
           3                     3 Z                    
             ∂ρ(y) ∂E(x, y)           ∂         ∂E(x, y)
       Z X                       X
                            dy =           ρ(y)            dy =
               ∂yi    ∂yi            ∂yi          ∂yi
         Ωε i=1                             i=1 Ω
                                                       ε


                                 ∂E(x, y)                          ∂E(x, y)
                        Z                              Z
                    =       ρ(y)          dσy +             ρ(y)            dσy .         (1.24)
                                   ∂ny                               ∂ny
                        Γ                              Γε

Çäåñü Γε  ãðàíèöà øàðà Bε (x), ny  âíåøíÿÿ ê Ωε íîðìàëü.
   Ïîñêîëüêó ny = (x − y)/|x − y| íà Γε (x), òî ñ ó÷åòîì îðìóëû (1.16)
ãë. 6
                             
∂E(x, y)      1          1             (x − y) · ny       1
          =     ∇y              · ny =              =             íà Γε (x).
   ∂ny       4π       |x − y|           4π|x − y|3    4π|x − y|2
                                                                        (1.25)
Èç (1.23), (1.24) è (1.25) ñëåäóåò, ÷òî
                               ∂E(x, y)                     ρ(y)dσy
                       Z                              Z
      ∆u(x) = − lim ρ(y)                dσy = − lim                   =
                   ε→0            ∂ny            ε→0       4π|y − x|2
                            Γε                                       |y−x|=ε

                                 ρ(y) − ρ(x)                                     dσy
                            Z                                             Z
               = − lim                       dσy − ρ(x) lim                           .   (1.26)
                    ε→0             4πε2                ε→0                      4πε2
                       |y−x|=ε                                         |y−x|=ε

Íî               = 4πε2 ∀ε > 0. Êðîìå òîãî, â ñèëó óñëîâèÿ (iii) èìååì
     R
     |y−x|=ε dσy
|ρ(y) − ρ(x)| ≤ supy∈Ω |∇ρ(y)||y − x| ≤ M1 |y − x| ∀x ∈ Ω. Ñ ó÷åòîì ýòîãî
âûâîäèì, ÷òî

               ρ(y) − ρ(x)        M1              |x − y|
          Z                                 Z
                           dσ y ≤                         dσy ≤ M1 ε ïðè ε → 0.
                  4πε2            4π                 ε2
          Γε                               Γε

Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ â (1.26) ê ïðåäåëó ïðè ε → 0, ïîëó÷èì (1.21).
   Åñëè æå Ω  ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, êàê óêà-
çàíî â óñëîâèè (i), òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (1.21) â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé
òî÷êè x0 ∈ Ω, äîñòàòî÷íî ïðåäñòàâèòü u(x) â âèäå
            Z                     Z
    u(x) = E(x, y)ρ(y)dy +            E(x, y)ρ(y)dy, x ∈ BR (x0),     (1.27)
               ΩR                     BR (x0 )

ãäå øàð BR (x0 ) ëåæèò â îáëàñòè Ω, ΩR ≡ ΩR (x0 ) = Ω \ BR (x0 ). Ïåðâîå
ñëàãàåìîå â (1.27) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé óíêöèåé âíóòðè øàðà BR (x0 ),

                                                 158

Страницы