Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ
u
ρ
2m
2m
u
u
ρ
u Ω ρ ∈ C
1,α
(Ω) u
C
3,α
(Ω) ρ ∈
˙
C
1,α
(Ω) u ∈ C
3,α
(R
n
)
′
u
+
∈
C
2,α
(Ω) u
−
Ω
e
n ≥ 3 |x| → ∞
Γ ∈ C
2,α
u
+
∈ C
2,α
(Ω) u
−
∈ C
2,α
(Ω
e
)
ρ ∈
˙
C
α
(Ω) u ∈ C
2,α
(R
n
)
ρ ∈ C
l,α
(Ω) u
+
∈ C
l+2,α
(Ω)
ku
+
k
C
l+2,α
(
Ω
′
)
≤ Ckρk
C
l,α
(Ω)
∀Ω
′
⊂⊂ Ω,
Γ ∈ C
l+2,α
u
+
∈ C
l+2,α
(Ω) u
−
∈ C
l+2,α
(Ω
e
)
ku
+
k
C
l+2,α
(
Ω)
≤ Ckρk
C
l,α
(Ω)
α ∈ (0, 1)
α = 0
α = 1
Ïîñëåäíåå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî æåñòêèì è â îáùåì ñëó÷àå íå âû-
ïîëíÿåòñÿ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò
îáúåìíîãî ïîòåíöèàëà â òî÷êàõ ãðàíèöû Γ íå ñóùåñòâóþò, õîòÿ ìîãóò ñó-
ùåñòâîâàòü îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ëåììû
1.4.
   Âòîðàÿ îñîáåííîñòü îöåíêè (1.30), êàê è (1.31), çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
ïîðÿäîê ãëàäêîñòè ïîòåíöèàëà u íà äâå åäèíèöû ïðåâîñõîäèò ïîðÿäîê ãëàä-
êîñòè ïðàâîé ÷àñòè ρ. Ýòî íå ñëó÷àéíî, à ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðîÿâëåíèÿ
óíäàìåíòàëüíîé çàêîíîìåðíîñòè äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èâ-
øåé íàçâàíèå ñâîéñòâà ýëëèïòè÷åñêîé ðåãóëÿðíîñòè. Ñîãëàñíî ýòîìó ñâîé-
ñòâó, ïîðÿäîê ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïîðÿäêà 2m
âíóòðè îáëàñòè íà 2m åäèíèö ïðåâîñõîäèò ïîðÿäîê ãëàäêîñòè ïðàâîé ÷à-
ñòè è êîýèöèåíòîâ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàë
u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (1.21), ò. å. óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïî-
ðÿäêà, òî â ñèëó ýòîãî ñâîéñòâà ãëàäêîñòü ïîòåíöèàëà u ïðåâîñõîäèò íà äâå
åäèíèöû ãëàäêîñòü ïðàâîé ÷àñòè, à óâåëè÷åíèå ïîðÿäêà ãëàäêîñòè ïðàâîé
÷àñòè ρ óðàâíåíèÿ (1.21) ïðèâîäèò ê ñîîòâåòñòâóþùåìó óâåëè÷åíèþ ãëàä-
êîñòè ïîòåíöèàëà u âíóòðè Ω.  ÷àñòíîñòè, ïðè ρ ∈ C 1,α (Ω) ïîòåíöèàë u
ïðèíàäëåæèò C 3,α (Ω), åñëè æå ρ ∈ Ċ 1,α (Ω), òî u ∈ C 3,α (Rn ). Òåïåðü ìû â
ñîñòîÿíèè ñîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ óíäàìåíòàëüíóþ òåîðåìó.
   Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i), (iii′ ). Òîãäà u+ ∈
C 2,α(Ω), òîãäà êàê u− ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé â Ωe , óäîâëå-
òâîðÿþùåé ïðè n ≥ 3 óñëîâèþ (1.6) ïðè |x| → ∞. Åñëè ê òîìó æå
Γ ∈ C 2,α , òî u+ ∈ C 2,α (Ω), u− ∈ C 2,α(Ωe ) è ñïðàâåäëèâà îöåíêà (1.31).
   2. Åñëè ρ ∈ Ċ α (Ω), òî u ∈ C 2,α (Rn ) è ñïðàâåäëèâà îöåíêà (1.34).
   3. Åñëè ρ ∈ C l,α(Ω), òî u+ ∈ C l+2,α(Ω) è ñïðàâåäëèâà ëîêàëüíàÿ îöåíêà

                   ku+kC l+2,α (Ω′ ) ≤ CkρkC l,α (Ω) ∀Ω′ ⊂⊂ Ω,

åñëè, êðîìå òîãî, Γ ∈ C l+2,α, òî u+ ∈ C l+2,α(Ω), u− ∈ C l+2,α(Ωe ) è ñïðà-
âåäëèâà îöåíêà ku+kC l+2,α (Ω) ≤ CkρkC l,α(Ω) .
   Ìû òàêæå îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå α ∈ (0, 1) ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì â
òîì ñìûñëå, ÷òî óòâåðæäåíèÿ òåîðåì â îáùåì ñëó÷àå íå âåðíû ïðè α = 0
è α = 1.




                                      162

Страницы