Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(x) = −
1
2π
Z
Γ
µ(y)
(y − x) ·n
y
|x −y|
2
dσ
y
.
Γ R
2
C
2
µ ∈ C
2
(Γ)
Γ x
0
∈ Γ
u
u(x
0
) =
1
2π
Z
Γ
µ(y)
∂
∂n
y
ln
1
|x
0
− y|
dσ
y
= −
1
2π
Z
Γ
µ(y)
(y − x
0
) · n
y
|x
0
− y|
2
dσ
y
≡
≡ −
1
2π
lim
ε→0
Z
Γ
′′
ε
(x
0
)
µ(y)
(y − x
0
) · n
y
|x
0
− y|
2
dσ
y
.
Γ
′′
ε
(x
0
) Γ Γ ε
x
0
G
G
S
S
x
0
e
e
e
e
G
j
s
s
x
y
y
t
n
y
0
0
x
0
= (x
0
1
, x
0
2
) y = (y
1
, y
2
)
Γ Γ
y
0
x
0
y
σ s
n
y
= n(y) = (n
1
(y), n
2
(y)) Γ y n
1
n
2
n
t
y
= t(y) = (t
1
(y), t
2
(y))
y ∈ Γ
t(y) = y
′
(s) = (y
′
1
(s), y
′
2
(s)), |t(y)| = |y
′
(s)| = 1.
 ñèëó (2.3) ïîòåíöèàë (2.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                              1        (y − x) · ny
                                Z
                   u(x) = −       µ(y)              dσy .                                               (2.5)
                             2π          |x − y|2
                                              Γ

Äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê áóäåì ïðåäïîëàãàòü, êàê â [9, ñ. 66℄, ÷òî
   (i) Γ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé çàìêíóòîé êðèâîé â R2 áåç òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ
(êðèâîé Æîðäàíà) èç êëàññà C 2 ; (ii) µ ∈ C 2 (Γ).
   Ïîêàæåì, ïðåæäå âñåãî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïîòåíöèàë
äâîéíîãî ñëîÿ (2.4) èìååò ñìûñë è â òî÷êàõ Γ, ò. å. ÷òî â ëþáîé òî÷êå x0 ∈ Γ
ñóùåñòâóåò ïðÿìîå çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà u, îïðåäåëÿåìîå êàê ñèíãóëÿðíûé
èíòåãðàë
             1          ∂      1              1         (y − x0 ) · ny
               Z                                Z
       0
  u(x ) =         µ(y)    ln        dσy = −        µ(y)                dσy ≡
            2π         ∂ny |x0 − y|         2π            |x0 − y|2
              Γ                                                            Γ

                          1                                (y − x0) · ny
                                         Z
                   ≡−       lim                     µ(y)                 dσy .                          (2.6)
                         2π ε→0                              |x0 − y|2
                                      Γ′′ε (x0 )

Çäåñü Γ′′ε (x0 )  ÷àñòü ãðàíèöû Γ, îòñåêàåìàÿ îò Γ îêðåñòíîñòüþ ðàäèóñà ε
ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 (ñì. ðèñ. 2.1a).
                            Ge                                        ny                   s
                                                                  j
                                                                                   x   0
                                        Se                                                     y0
                                                                      y        s                    G
                                        Ge                    t
                                         x0

                                 Se

                      (à)                                                      (á)


                                                   èñ. 2.1


   Ïóñòü x0 = (x01 , x02)  èêñèðîâàííàÿ, à y = (y1 , y2 )  ïåðåìåííàÿ òî÷-
êè íà Γ. Èõ äóãîâûå àáñöèññû (ò. å. äëèíû äóã íà Γ, îòñ÷èòûâàåìûå îò
èêñèðîâàííîé òî÷êè y0 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî òî÷åê x0 è y), îáîçíà-
÷èì ÷åðåç σ è s ñîîòâåòñòâåííî. Íàðÿäó ñ åäèíè÷íûì âåêòîðîì âíåøíåé
íîðìàëè ny = n(y) = (n1 (y), n2 (y)) ê ãðàíèöå Γ â òî÷êå y, ãäå n1 è n2
 äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âåêòîðà n, ââåäåì òàêæå åäèíè÷íûé âåêòîð êà-
ñàòåëüíîé ty = t(y) = (t1 (y), t2(y)), îïðåäåëÿåìûé â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå
y ∈ Γ îðìóëîé
             t(y) = y′ (s) = (y1′ (s), y2′ (s)), |t(y)| = |y′ (s)| = 1.                                 (2.7)

                                                     164

Страницы