Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ
′
ε
−
Z
Γ
′
ε
µ(y)
∂ln|x − y|
∂n
y
dσ
y
+
Z
S
′
ε
ln|x − y|
∂v( y)
∂n
y
− v(y)
∂
∂n
y
ln|x − y|
dσ
y
=
=
Z
B
′
ε
ln|x − y|∆
y
v( y)dy ∀x ∈ B
′′
ε
(x
0
).
x ∈ B
′
ε
∪ Γ
′
ε
B
′
ε
∪ Γ
′
ε
x B
δ
(x)
δ x
δ
C
2
R
2
−
Z
Γ
′
ε
µ(y)
∂ln|x − y|
∂n
y
dσ
y
+
Z
S
′
ε
ln|x − y|
∂v( y)
∂n
y
− v(y)
∂
∂n
y
ln|x − y|
dσ
y
+
+q(x) v(x) =
Z
B
′
ε
ln|x − y|∆
y
v( y)dy ∀x ∈
B
′
ε
(x
0
).
q(x) = 2π x ∈ B
′
ε
(x
0
) q(x) = π x ∈ Γ
′
ε
x B
ε
q
q(x) =
2π, x ∈ B
′
ε
,
π, x ∈ Γ
′
ε
,
0, x ∈ B
′′
ε
.
Γ
′′
ε
= Γ\Γ
′
ε
x
0
B
ε/2
(x
0
)
u(x) = −
1
2π
Z
Γ
′′
ε
µ(y)
∂
∂n
y
ln|x−y|dσ
y
−
1
2π
Z
Γ
′
ε
µ(y)
∂
∂n
y
ln|x−y |dσ
y
, x ∈ B
ε
(x
0
).
x ∈ B
ε
(x
0
)
Γ
2π
u(x) = −
1
2π
Z
Γ
′′
ε
µ(y)
∂
∂n
y
ln|x − y|dσ
y
−
Èñïîëüçóÿ äàëåå ñîîòíîøåíèÿ (2.20) íà Γ′ε , ïåðåïèøåì (2.22) â âèäå
                           Z                                     
          ∂ln|x − y|                    ∂v(y)         ∂
   Z
 − µ(y)              dσy +    ln|x − y|       − v(y)     ln|x − y| dσy =
             ∂ny                         ∂ny         ∂ny
   Γ′ε                          Sε′
                       Z
                   =         ln|x − y|∆y v(y)dy ∀x ∈ Bε′′ (x0).            (2.23)
                       Bε′
    Ïóñòü òåïåðü x ∈ Bε′ ∪ Γ′ε .  ýòîì ñëó÷àå ïðåäâàðèòåëüíî âûäåëèì èç
Bε′ ∪ Γ′ε ýòó òî÷êó x âìåñòå ñ çàìêíóòûì êðóãîì Bδ (x) äîñòàòî÷íî ìàëî-
ãî ðàäèóñà δ ñ öåíòðîì â òî÷êå x è ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî (2.21) ïî
îñòàâøåéñÿ îáëàñòè. Óñòðåìëÿÿ äàëåå δ ê íóëþ è ðàññóæäàÿ òàê æå, êàê
ïðè âûâîäå èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðèíà óíêöèè êëàññà C 2 â R2
(ñì. Ÿ2 ãë. 6), ïðèäåì ê îðìóëå
                              Z                                      
             ∂ln|x − y|                     ∂v(y)         ∂
     Z
  − µ(y)                dσy +     ln|x − y|       − v(y)     ln|x − y| dσy +
                ∂ny                          ∂ny         ∂ny
   Γ′ε                           Sε′
                                Z
              +q(x)v(x) =              ln|x − y|∆y v(y)dy ∀x ∈ Bε′ (x0).   (2.24)
                               Bε′

Çäåñü q(x) = 2π , åñëè x ∈ Bε′ (x0 ) è q(x) = π ïðè x ∈ Γ′ε . Îáå îðìóëû
(2.23) è (2.24) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îäíîé îðìóëû (2.24), ñ÷èòàÿ, ÷òî â
íåé x èçìåíÿåòñÿ â êðóãå Bε , åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî óíêöèÿ q â (2.24)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
                                 
                                  2π, x ∈ Bε′ ,
                          q(x) =     π, x ∈ Γ′ε ,                    (2.25)
                                  0, x ∈ B ′′ .
                                               ε

   Ïîëîæèì Γ′′ε = Γ\ Γ′ε . àññìàòðèâàÿ çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ
(2.4) â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , íàïðèìåð, â êðóãå Bε/2 (x0 ), çàïèøåì (2.4) â
âèäå
           1         ∂                 1         ∂
             Z                           Z
u(x) = −       µ(y)      ln|x−y|dσy −      µ(y)     ln|x−y|dσy , x ∈ Bε(x0 ).
          2π        ∂ny               2π        ∂ny
            Γ′′ε                                     Γ′ε
                                                                     (2.26)
Çàìå÷àåì, ÷òî âî âñåõ òî÷êàõ x ∈ Bε (x ), ëåæàùèõ â òîì ÷èñëå è íà ó÷àñòêå
                                                 0

ãðàíèöû Γ, âòîðîå ñëàãàåìîå â (2.26) ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì ëåâîé
÷àñòè ðàâåíñòâà (2.24), ïîäåëåííûì íà 2π . Ýòî ïîçâîëÿåò ïåðåïèñàòü (2.26)
â âèäå
                             1          ∂
                               Z
                  u(x) = −       µ(y)      ln|x − y|dσy −
                            2π        ∂ny
                                        Γ′′ε

                                               168

Страницы