Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x Ω Ω
e
x
0
q Ω Ω
e
v
lim
x→x
0
x∈Ω
∂u(x)
∂n
x
=
∂u
+
(x
0
)
∂n
x
0
, lim
x→x
0
x∈Ω
e
∂u(x)
∂n
x
=
∂u
−
(x
0
)
∂n
x
0
,
∂u
−
(x
0
)
∂n
x
0
=
∂u
+
(x
0
)
∂n
x
0
∀x
0
∈ Γ.
x Γ
x
0
∈ Γ
µ ∈ C(Γ)
Γ
Γ µ
u : R
n
\ Γ → R
u(x) =
Z
Γ
E
n
(x, y)µ(y)dσ
y
, x ∈ R
n
\ Γ.
E
n
u R
n
\ Γ
n ≥ 3 u |x| → ∞
O(|x|
2−n
) n = 2
u(x) =
1
2π
Z
Γ
ln
1
|x −y|
µ(y)dσ
y
u(x) = −
ln|x|
2π
Z
Γ
µ(y)dσ
y
+
1
2π
Z
Γ
ln
|x|
|x − y|
µ(y)dσ
y
.
R
2
|x| → ∞
   Áîëåå òîãî, ïîñêîëüêó èíòåãðàëüíûå ÷ëåíû â ïðàâîé ÷àñòè (2.27) íåïðå-
ðûâíî äèåðåíöèðóåìû ïðè ïåðåõîäå òî÷êè x èç Ω â Ωe ÷åðåç x0 , óíê-
öèÿ q ïîñòîÿííà â Ω è Ωe, à óíêöèÿ v óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (2.20), òî
èç (2.27) è (2.25) ñëåäóåò ñ ó÷åòîì âòîðîãî óñëîâèÿ â (2.20), ÷òî ñóùåñòâóþò
ïðåäåëû
                     ∂u(x) ∂u+(x0 )          ∂u(x) ∂u−(x0)
                lim        =          , lim0       =           ,       (2.31)
                x→x0  ∂nx       ∂nx0    x→x   ∂n x     ∂n x0
               x∈Ω                      x∈Ω   e

ïðè÷åì
                      ∂u−(x0) ∂u+(x0)
                             =          ∀x0 ∈ Γ.              (2.32)
                        ∂nx0     ∂nx0

   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå òåîðåìû
   Òåîðåìà 2.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i), (ii) ïîòåíöèàë äâîéíîãî
ñëîÿ (2.4) ïðè ïåðåõîäå òî÷êè x ÷åðåç ãðàíèöó Γ ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ
ñî ñêà÷êàìè, îïðåäåëÿåìûìè îðìóëàìè (2.29) è (2.30). Áîëåå òîãî, â
êàæäîé òî÷êå x0 ∈ Γ ñóùåñòâóþò ïðåäåëû (2.31) è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
(2.32).
  2.3. Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ. Òåîðåìà î ñêà÷êå ïðîèçâîäíûõ
îò ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ.     Ïóñòü ñíà÷àëà µ ∈ C(Γ)  çàäàííàÿ íà
Γ íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ óíêöèÿ .
   Îïðåäåëåíèå 2.2. Ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ ìàññ (ëèáî çàðÿäîâ),
ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè Γ ñ ïëîòíîñòüþ µ, íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ
u : Rn \ Γ → R, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé
                        Z
                 u(x) = En(x, y)µ(y)dσy , x ∈ Rn \ Γ.           (2.33)
                         Γ

   Èç (2.33) è ñâîéñòâ ñèíãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ En (ñì. Ÿ 1 ãë. 6) âûòåêàåò,
÷òî ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ u âñþäó â Rn \ Γ ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé
óíêöèåé, ïðè÷åì ïðè n ≥ 3 ïîòåíöèàë u ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè |x| → ∞
ñ ïîðÿäêîì O(|x|2−n ).  ñëó÷àå æå n = 2 îðìóëà (2.33) ïðèíèìàåò âèä
                               1         1
                                 Z
                       u(x) =      ln         µ(y)dσy             (2.34)
                              2π      |x − y|
                                    Γ

èëè
                     ln|x|                  1                |x|
                             Z                    Z
            u(x) = −             µ(y)dσy +            ln           µ(y)dσy .   (2.35)
                      2π                   2π              |x − y|
                             Γ                    Γ

Èç (2.35) ñëåäóåò â ñèëó (1.8), ÷òî ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ â R2 èìååò
ëîãàðèìè÷åñêóþ îñîáåííîñòü ïðè |x| → ∞, èñêëþ÷àÿ ñëó÷àé, êîãäà åãî


                                        170

Страницы