Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∆u = 0
Ω Γ Ω
e
= R
n
\ Ω
Ω Ω
u ∈ C
2
(Ω)∩
C(
Ω) Ω
u = g(x) Γ.
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩
C(
Ω
e
) Ω
e
u(x) = O
|x|
2−n
|x| → ∞.
u ∈ C
2
(Ω)∩
C
1
(
Ω) Ω
∂u
∂n
= g(x)
Γ.
u ∈ C
2
(Ω
e
) ∩
C
1
(
Ω
e
) Ω
e
u
u(x) = [W ψ] (x) ≡
Z
Γ
ψ(y)
∂E(x, y)
∂n
y
dσ
y
ψ ∈ C(Γ)
ψ ∈ C(Γ)
u
Ω u ∈ C
∞
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ψ
x
0
∈ Γ
x → x
0
lim
x→x
0
,
x∈Ω
u(x) ≡ u
+
(x
0
) = −
1
2
ψ(x
0
) +
Z
Γ
ψ(y)
∂E(x
0
, y)
∂n
y
dσ
y
.
   Íèæå ìû ðàçáåðåì èäåþ ìåòîäà ãðàíè÷íûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé íà
ïðèìåðå ÷åòûðåõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Áîëåå êîíêðåòíî,
áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèå êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà

                                ∆u = 0                              (3.1)

â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé Γ, èëè âî âíåøíîñòè Ωe = Rn \ Ω
îáëàñòè Ω. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Ω óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (j) èç Ÿ 2.
   Çàäà÷à 1.1 (âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå). Íàéòè óíêöèþ u ∈ C 2 (Ω)∩
C(Ω), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (3.1) â îáëàñòè Ω è ãðàíè÷íîìó óñëî-
âèþ
                          u = g(x) íà Γ.                           (3.2)
  Çàäà÷à 1.2 (âíåøíÿÿ çàäà÷à Äèðèõëå). Íàéòè óíêöèþ     u ∈ C 2(Ωe) ∩
C(Ωe ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (3.1) â Ωe, ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (3.2)
è óñëîâèþ
                   u(x) = O |x|2−n   ïðè |x| → ∞.                 (3.3)
                                   

  Çàäà÷à 2.1 (âíóòðåííÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà). Íàéòè óíêöèþ     u ∈ C 2(Ω)∩
C 1(Ω), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (3.1) â îáëàñòè Ω è ãðàíè÷íîìó óñëî-
âèþ
                            ∂u
                                = g(x) íà Γ.                        (3.4)
                            ∂n
   Çàäà÷à 2.2 (âíåøíÿÿ çàäà÷à Íåéìàíà). Íàéòè óíêöèþ u ∈ C 2 (Ωe ) ∩
C 1(Ωe), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (3.1) â îáëàñòè Ωe, ãðàíè÷íîìó óñëî-
âèþ (3.4) è óñëîâèþ (3.3) íà áåñêîíå÷íîñòè.
   Íà÷íåì ñ çàäà÷è 1.1. Ñëåäóÿ Ì ÈÓ, áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå u â âèäå
ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ
                                            ∂E(x, y)
                                     Z
                  u(x) = [W ψ] (x) ≡ ψ(y)            dσy            (3.5)
                                              ∂ny
                                    Γ

ñ íåïðåðûâíîé (íåèçâåñòíîé ïîêà) ïëîòíîñòüþ ψ ∈ C(Γ). Èç òåîðåìû 2.3
âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (j) äëÿ ëþáîé ψ ∈ C(Γ) ïîòåíöèàë
u, îïðåäåëÿåìûé îðìóëîé (3.5), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà âñþäó
â Ω, ïðè÷åì u ∈ C ∞(Ω) ∩ C 0 (Ω). Ñ ó÷åòîì ýòîãî îñòàåòñÿ âûáðàòü ψ òàê,
÷òîáû óíêöèÿ (3.5) óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ Äèðèõëå (3.2).
Ïóñòü x0 ∈ Γ  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ïåðåõîäÿ â (3.5) ê ïðåäåëó (èçíóòðè)
ïðè x → x0 èìååì â ñèëó òåîðåìû 2.3, ÷òî
                                  1               ∂E(x0, y)
                                          Z
                       + 0            0
           lim u(x) ≡ u (x ) = − ψ(x ) + ψ(y)               dσy .  (3.6)
          x→x0 ,
          x∈Ω
                                  2                 ∂ny
                                          Γ



                                   176

Страницы