Классические методы математической физики. Алексеев Г.В. - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
u(x) = [V ϕ] (x) + A =
Z
Γ
ϕ(y)E(x, y)dσ
y
+ A
ϕ
A
ϕ ∈ C(Γ) V ϕ
Ω
ϕ ∈ C(Γ)
x
0
∈ Γ
x
0
∂u
+
(x
0
)
∂n
=
1
2
ϕ(x
0
) +
Z
Γ
ϕ(y)
∂E(x
0
, y)
∂n
x
dσ
y
.
∂u
+
(x
0
)
∂n
= g(x
0
).
ϕ(x) + 2
Z
Γ
ϕ(y)
∂E(x, y)
∂n
x
dσ
y
= 2g(x), x ∈ Γ.
ϕ ∈ C(Γ)
ϕ ∈ C(Γ)
µ(x) + 2
Z
Γ
µ(y)
∂E(y, x)
∂n
x
dσ
y
= 0, x ∈ Γ
µ
0
= 1
  Îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å 2.1. Ñëåäóÿ Ì ÈÓ, áóäåì èñêàòü åå ðåøåíèå u â
âèäå                              Z
            u(x) = [V ϕ] (x) + A = ϕ(y)E(x, y)dσy + A        (3.13)
                                      Γ
ñóììû ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ ϕ è ïðîèçâîëü-
íîé êîíñòàíòû A. Èç òåîðåìû 2.4 âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
(j) äëÿ ëþáîé ϕ ∈ C(Γ) ïîòåíöèàë V ϕ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà
â Ω. Òî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ óíêöèè (3.13). Ñ ó÷åòîì ýòîãî îñòàåòñÿ
âûáðàòü ϕ ∈ C(Γ) òàê, ÷òîáû óíêöèÿ (3.13) óäîâëåòâîðÿëà ãðàíè÷íîìó
óñëîâèþ (3.4).
    Ïóñòü x0 ∈ Γ  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà.  ñèëó òåîðåìû 2.4 ïðåäåëüíîå
çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè îò óíêöèè (3.13) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå
x0 ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
                ∂u+(x0) 1                 ∂E(x0, y)
                                   Z
                       = ϕ(x0) + ϕ(y)               dσy .        (3.14)
                  ∂n      2                 ∂nx
                                     Γ

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (3.4) èìååì

                              ∂u+(x0)
                                      = g(x0).                    (3.15)
                                ∂n
Ïðèðàâíèâàÿ (3.14) è (3.15), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ
                              ∂E(x, y)
                      Z
            ϕ(x) + 2 ϕ(y)              dσy = 2g(x), x ∈ Γ.        (3.16)
                                ∂nx
                      Γ

àâåíñòâî (3.16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñêîìîå ãðàíè÷íîå èíòåãðàëüíîå óðàâ-
íåíèå 2-ãî ðîäà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòè ϕ ∈ C(Γ).
   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû
   Òåîðåìà 3.3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (j) óíêöèÿ (3.13) ÿâëÿåòñÿ ðå-
øåíèåì âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïëîò-
íîñòü ϕ ∈ C(Γ) â (3.13) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
(3.16).
   Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå (3.16) ñîïðÿæåííîå îäíîðîäíîå
óðàâíåíèå
                                 ∂E(y, x)
                         Z
                 µ(x) + 2 µ(y)            dσy = 0, x ∈ Γ          (3.17)
                                   ∂nx
                          Γ
èìååò åäèíñòâåííîå íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå µ0 = 1. Ïîýòîìó â ñèëó àëü-
òåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (3.16) ðàçðåøèìî òîãäà è


                                    179

Страницы