Методы оптимизации в инженерных расчетах в системе Mathcad. Алексеев А.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

27
г) Если используется классический метод, то приходим
к решению системы нелинейных уравнений (4). Характер
экстремума (min или max) определяется Гессианом (5):
если он положительно определен – то имеем min, если он
отрицательно определен – то имеем max.
д) При использовании прямого или градиентного
метода следует иметь ввиду, что функция Лагранжа
),,,(
ttji
llxF
ν
, где i=(1,2,…,n),j=(1,2,…,m),t=(1,2,…,k)
зависит от (n+m+2k) независимых переменных. В целях
однообразия все эти переменные можно обозначить через
xi, где i=(1,2,…,n+m+2k).
3.2 Метод штрафных функций
Сущность метода состоит в следующем. Вводится
вспомогательные функции:
)22()(
1
)(),( Xp
r
XurXF ⋅+=
),...,,(
21 n
xxxX = , r-параметр малой величины, p (X)-
штрафная функция.
Вспомогательная функция должна удовлетворять
следующим требованиям:
а) При выполнении ограничений (2),(3) она совпадает
с целевой функцией u(X);
28
б) При нарушении ограничений она начинает резко
возрастать в зависимости от степени нарушения
ограничений. Чем больше нарушены ограничения, тем
быстрее возрастает функция;
в) Если при нарушении ограничений функция
возрастает медленно, то параметр r (r больше нуля)
устремляем к нулю.
Таким образом, вспомогательная функция F (X,r)
представляет собой функцию «овражного» типа, у которой
крутые склоны расположены в пространстве параметров G
в тех местах, где происходит нарушение ограничений.
Штрафная функция учитывает степень нарушения
ограничений. Если ограничения не нарушены, то она равна
нулю. Если ограничения нарушены, то штрафная функция
имеет следующий вид:
[
]
)23())((1)()()( XssignXsXgXp
jji
−⋅+=
∑
∑
При выполнении ограничений (2) в выражение (23)
первая сумма равна нулю. При выполнении ограничений
(3) в выражение (23) произведение во второй сумме равно
нулю, и, таким образом, вспомогательная функция F(X,r)
совпадает с целевой функцией u (X).
При нарушении ограничений (2),(3) оба слагаемых в
(23) начинают возрастать в зависимости от степени 
     г) Если используется классический метод, то приходим                        б) При нарушении ограничений она начинает резко
к решению системы нелинейных уравнений (4). Характер                        возрастать      в     зависимости          от     степени         нарушения
экстремума (min или max) определяется Гессианом (5):                        ограничений. Чем больше нарушены ограничения, тем
если он положительно определен – то имеем min, если он                      быстрее возрастает функция;
отрицательно определен – то имеем max.                                           в) Если при нарушении ограничений функция
     д) При использовании прямого или градиентного                          возрастает медленно, то параметр r (r больше нуля)
метода следует иметь ввиду, что функция Лагранжа                            устремляем к нулю.
F ( xi , l j ,ν t , lt ) ,    где     i=(1,2,…,n),j=(1,2,…,m),t=(1,2,…,k)        Таким образом, вспомогательная функция F (X,r)

зависит от (n+m+2k) независимых переменных. В целях                         представляет собой функцию «овражного» типа, у которой

однообразия все эти переменные можно обозначить через                       крутые склоны расположены в пространстве параметров G
                                                                            в тех местах, где происходит нарушение ограничений.
xi, где i=(1,2,…,n+m+2k).
                                                                                 Штрафная функция учитывает степень нарушения
                             3.2 Метод штрафных функций
                                                                            ограничений. Если ограничения не нарушены, то она равна
        Сущность метода состоит в следующем. Вводится
                                                                            нулю. Если ограничения нарушены, то штрафная функция
вспомогательные функции:
                                                                            имеет следующий вид:
                                                1
                         F ( X , r ) = u ( X ) + ⋅ p( X )
                                                r
                                                            (22)                                                  [
                                                                             p ( X ) = ∑ g i ( X ) + ∑ s j ( X ) ⋅ 1 − sign( s j ( X ))   ]         (23)

X = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , r-параметр малой величины, p (X)-                   При выполнении ограничений (2) в выражение (23)
штрафная функция.                                                           первая сумма равна нулю. При выполнении ограничений
        Вспомогательная функция должна удовлетворять                        (3) в выражение (23) произведение во второй сумме равно
следующим требованиям:                                                      нулю, и, таким образом, вспомогательная функция F(X,r)
        а) При выполнении ограничений (2),(3) она совпадает                 совпадает с целевой функцией u (X).
с целевой функцией u(X);                                                         При нарушении ограничений (2),(3) оба слагаемых в
                                                                            (23) начинают возрастать в зависимости                            от степени

                                           27                                                                    28

Страницы