Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 68 стр.

                                            68


      9) f ( x, y) = y x − 2 y − x + 14 y ;
                                2


      10) f ( x, y ) = 6 xy − x 2 y − y 2 ( y ≠ 0 ).
      Упражнение 4. Найти условные экстремумы функций:
      1) f ( x, y ) = x 2 + y 2 − xy + x + y − 4 при x + y + 3 = 0 ;
                      1 1
      2) f ( x, y ) =   +   при x + y = 2 ;
                      x y
      3) f ( x, y ) = xy при x + y − 1 = 0 .
      Упражнение 5. Решить следующие задачи:
      1) Издержки производства товара определены функцией g ( x) = 4 + 15 x ,
цена на товар - функцией f ( x ) = − x 2 + 20 x + 2 . Известно, что объем производ-
ства x может меняться в пределах от 10 до 20 тысяч штук. Найти объем произ-
водства, максимизирующий прибыль, и значение максимальной прибыли.
          2) Функция спроса (цены на товар, в у.е.) имеет вид f ( x) = 7 − x + 5 (x
– объем производства товара, в тоннах), функция издержек производства
 g ( x ) = 4, 25 x + 0,0125 . Найти: а) объем производства, максимизирующий вы-
ручку (а также соответствующие цену товара и величину выручки); б) объем про-
изводства, максимизирующий прибыль.
          3) Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль выстроенной стены.
Стоимость работ по ограждению стороны, параллельной стене, равна 60 рублей
за метр, стоимость работ по ограждению двух других сторон составляет 90 руб-
лей за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если можно
истратить 10800 рублей?
          4) Прямоугольный участок разделен перегородкой, параллельной меньшей
из сторон прямоугольника. Стоимость установки внешнего ограждения составля-
ет 900 рублей за метр, перегородки – 1600 рублей за метр. Общая площадь участ-
ка равна 153 кв.м. Определить размеры участка, минимизирующие стоимость
строительства.
          5) Предприятие производит товар A в количестве x единиц и товар B в ко-
личестве y единиц, при этом общее количество произведенной продукции состав-
ляет 500 единиц. Общие издержки производства заданы формулой
       g ( x, y ) = 0,5 x 2 + 0,6 xy + 0,4 y 2 + 700 x + 600 y + 2000 .
      Сколько единиц товаров A и B надо производить, чтобы издержки и изго-
товления были минимальными?
      6) Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс.
рублей. Известно, что если на приобретение нового оборудования затратить x
тыс. рублей, а на зарплату работникам y тыс. рублей, то прирост объема продук-
ции составит F ( x, y ) = 0,001x 0, 6 y 0, 4 . Как следует распределить выделенные