Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 65 стр.

                                      65


       ∂f ∂f dy         ∂ϕ ∂ϕ dy 
       +         + λ   +         = 0
        ∂x ∂y dx        ∂x ∂y dx 
        ∂f  ∂ϕ   ∂f        ∂ϕ  dy
        + λ  +  + λ              =0
        ∂x   ∂x   ∂y       ∂y  dx
       Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный
коэффициент λ так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
       ∂f       ∂ϕ
       ∂x + λ       =0
                 ∂x
      
       ∂f       ∂ϕ
       +λ           =0
       ∂y       ∂ y
      ϕ( x, y ) = 0
      
      
        Полученная система уравнений является необходимыми условиями ус-
ловного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Чтобы прове-
рить наличие экстремума в стационарной точке, необходимо вычислить величину
                    ∂ϕ      ∂ϕ
              0
                    ∂x      ∂y
          ∂ϕ        ∂2 f   ∂2 f
      ∆=−
          ∂x        ∂x 2   ∂x∂y
             ∂ϕ    ∂2 f    ∂2 f
             ∂y    ∂y ∂x   ∂y 2
Если > 0 , то в данной точке локальный минимум, если < 0 –– локальный
максимум. В случае, когда = 0 , требуется дополнительное исследование (со-
мнительный случай).
      Выражение u = f(x, y) + λϕ(x, y) называется функцией Лагранжа.
        Приме 4. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
      2x + 3y – 5 = 0
      u = xy + λ (2 x + 3 y − 5)
      ∂u                  ∂u
         = y + 2λ;            = x + 3λ;
      ∂x                  ∂y