Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 63 стр.

                                                     63

         f ' ' xx ( x, y ) = (15 − 4 x − y )' x = −4 ; f ' ' yy ( x, y ) = (− x − 4 y )' y = −4 ;
         f ' ' xy ( x, y ) = (15 − 4 x − y )' y = −1 .
        В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационар-
ной      точки    M(4;-1)    имеем:     f ' ' xx ( 4;−1) = −4 ; f ' ' yy (4;−1) = −4 ;
 f ' ' xy (4;−1) = −1 .
        ∆ = (−4) ⋅ ( −4) − ( −1) 2 = 16 − 1 = 15 > 0 ; δ = −4 < 0 .
        Учитывая знаки числовых характеристик ∆, δ и соответствующее условие
из 5), получаем, что M(4;-1) – точка локального максимума исходной функции, и
         f max = f ( 4;−1) = 1 + 15 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 2 − 4 ⋅ (−1) − 2(−1) 2 =
                            = 1 + 60 − 32 + 4 − 2 = 31.
        Пример 2. Считая, что x>0 и y>0, найти экстремумы функции
 f ( x, y ) = x 3 + y 3 − 3 xy .
      Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем част-
ные производные первого порядка:
         f ' x ( x, y ) = 3 x 2 − 3 y , f ' y ( x, y ) = 3 y 2 − 3 x .
        Решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):
        3 x 2 − 3 y = 0  y = x 2     y = x2        y =1
         2             ⇔  2 2      ⇔  3            ⇔
        3 y − 3x = 0 ( x ) − x = 0  x ( x − 1) = 0  x = 1
      Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производ-
ные второго порядка: f ' ' xx ( x, y ) = 6 x ; f ' ' yy ( x, y ) = 6 y ; f ' ' xy ( x, y ) = −3 . Вы-
числяем их значения в точке M: f ' ' xx (1;1) = 6 ; f ' ' yy (1;1) = 6 ; f ' ' xy (1;1) = −3 .
∆ = 36 − 9 = 27 > 0 ; δ = 6 > 0 . Учитывая знаки числовых характеристик ∆, δ ,
получаем, что M(1;1) – точка локального минимума исходной функции:
        f min = f (1;1) = 1 + 1 − 3 = −1 .
       При решении примера 2 мы столкнулись с тем, что на переменные было
наложено дополнительное ограничение. Фактически рассмотренный пример
представлял собой задачу поиска условного экстремума функции f ( x, y ) , кото-
рая ставится следующим образом: найти экстремумы функции z = f ( x, y ) в слу-
чае, когда переменные удовлетворяют условиям ϕ1 ( x, y ) = 0 , ϕ 2 ( x, y ) = 0 ,...,
ϕ n ( x, y ) = 0 . Для решения подобных проблем создана специальная теория, одна-
ко в некоторых случаях задачу удается свести к поиску обычного экстремума
функции одного переменного.
      Пример 3. При условии x + y − 3 = 0 найти экстремум функции