Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 62 стр.

                                                         62


       Экстремумы функций двух переменных. Условные экстремумы.

      Само определение локальных экстремумов функции z = f ( x, y ) фактиче-
ски не отличается от случая функции одного переменного y = f (x) (только те-
перь точками локального экстремума будут точки вида M ( x0 , y0 ) ). Алгоритм
поиска состоит в следующем.
       1) Установить область определения функции.
       2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к ну-
лю, т.е. решить систему уравнений
        f ' x ( x, y ) = 0
                           .
        f ' y ( x, y ) = 0
       Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.
       3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции
и вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида
M ( x0 , y0 ) .
       4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики:
                                                              (                    )
       ∆ = f ' ' xx ( x 0 , y 0 ) ⋅ f ' ' yy ( x 0 , y 0 ) − f ' ' xy ( x 0 , y 0 ) 2 ,


      δ = f ' ' xx ( x 0 , y 0 ).
      5) Если ∆ > 0, δ > 0 , то M ( x0 , y0 ) - точка локального минимума исход-
ной функции и f min = f ( x0 , y0 ) ; если ∆ > 0, δ < 0 , то M ( x0 , y0 ) - точка ло-
кального максимума исходной функции и f max = f ( x0 , y0 ) ; во всех остальных
случаях M ( x0 , y0 ) не является точкой экстремума.
      Пример 1. Найти экстремумы функции
       f ( x, y ) = 1 + 15 x − 2 x 2 − xy − 2 y 2 .
      Решение. Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные про-
изводные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
       f ' x ( x, y ) = 15 − 4 x − y , f ' y ( x, y ) = − x − 4 y ;
       15 − 4 x − y = 0 15 − 4(−4 y ) − y = 0 15 + 15 y = 0
                       ⇔                     ⇔              .
        − x − 4y = 0          x = −4 y         x = −4 y
      Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.
      Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные
второго порядка: