Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

64
yxyxyxf 2),(
3
+−=
Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функ-
цию: xy
−
=
3 , а потому
65)3(2)3()3,()(
233
+−+=−+−−=−= xxxxxxxxxfxF .
Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме,
разобранной в п.8.1. Функция )(xF определена при всех x,
3/5,10523)('
2
−==⇔=−+= xxxxxF .
Определив знак производной на интервалах, получаем:
x
)3/5;(
−
−∞
-5/3
)1;3/5(
−
1
);1(
+∞
)(' xF
+ 0 — 0 +
Вывод т.макс
.
т.мин
.
Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при
x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют
говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции
),( yxf , а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,
,3421)2;1(
min
=
+
−
=
=
ff
27
337
3
14
2
3
3
145
27
125
)3/14;3/5(
max
=⋅+
⋅
−
−
−
=−= ff .
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в
функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соот-
ношение ϕ(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая
может быть выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)).
dx
dy
y
f
x
f
dx
du
∂
∂
+
∂
∂
=
В точках экстремума:
dx
dy
y
f
x
f
dx
du
∂
∂
+
∂
∂
=
=0
(1)
Кроме того:
0=
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
dx
dy
yx
(2)
Умножим равенство (2) на число λ и сложим с равенством (1). 
                                                 64


f ( x, y ) = x 3 − xy + 2 y
     Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функ-
цию: y = 3 − x , а потому
           F ( x) = f ( x,3 − x) = x 3 − x (3 − x ) + 2(3 − x) = x 3 + x 2 − 5 x + 6 .
      Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме,
разобранной   в   п.8.1.  Функция F (x )  определена     при   всех    x,
F ' ( x) = 3x 2 + 2 x − 5 = 0 ⇔ x = 1, x = −5 / 3 .
           Определив знак производной на интервалах, получаем:
      x      ( −∞;−5 / 3)   -5/3   (−5 / 3;1)   1      (1;+∞)
F ' ( x)           +             0           —            0         +
Вывод                        т.макс              т.мин
                                .                   .
         Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при
x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют
говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции
 f ( x, y ) , а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,
           f min = f (1;2) = 1 − 2 + 4 = 3,
                                 − 125 − 5 ⋅ 14     14 337
f max     = f ( −5 / 3;14 / 3) =      −         + 2⋅ =     .
                                  27      3⋅3        3  27
      Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в
функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соот-
ношение ϕ(х, у) = 0, которое называется уравнением связи.
       Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая
может быть выражена через нее из уравнения связи.
       Тогда u = f(x, y(x)).
           du ∂f ∂f dy
             =  +
           dx ∂x ∂y dx
           В точках экстремума:
                                   du ∂f ∂f dy
                                     =  +      =0
                                   dx ∂x ∂y dx
(1)
           Кроме того:
                                     ∂ϕ ∂ϕ dy
                                       +      =0
                                     ∂x ∂y dx
              (2)
           Умножим равенство (2) на число λ и сложим с равенством (1).

Страницы