Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Орел

Составители: 

Рубрика: 

66
=−+
=λ+
=λ+
0532
03
02
yx
x
y
555
;;
1246
xyλ
=−==
023
201120
310
∆=−=−<
Таким образом, функция имеет условный максимум в точке
6
5
;
4
5
,
равный
24
.
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума
функции называется также методом множителей Лагранжа.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Упражнение 1. Найти экстремумы данных функций:
1) xxxf ln)(
−
=
6)
2
)1)(2()( +−= xxxf
2) 52)(
42
+−= xxxf
7*)
3
2
)2()( −= xxxf
3)
x
xexf
3
)( =
8)
72243)(
23
+−−= xxxxf
4)
x
xexf
−
=)( 9*)
3
1)( −= xxxf
5) xxxxf −=)(
Упражнение 2. Найти наибольшее и наименьшее значение заданной функ-
ции на предложенном отрезке:
1) 2156)(
23
+−−= xxxxf , а) ]6;2[
−
∈
x ; b) ]3;2[
−
∈
x ; c)
]2;0[
∈
x ; d) ]6;4[
∈
x
2)
2
4
)(
x
xxf += , ]3;1[
∈
x ;
3) 64)(
2
+−= xxxf ; ]5;3[
−
∈
x
4) 32)(
24
+−= xxxf ; ]2;3[
−
∈
x 
                                           66


       y + 2λ = 0
      
       x + 3λ = 0
      2 x + 3 y − 5 = 0
      
            5       5          5
      λ =−    ;  x= ;       y=
           12       4          6
            0 2 3
      ∆ = − 2 0 1 = −12 < 0
            3 1 0
                                                                                    5 5
         Таким образом, функция имеет условный максимум в точке                      ; ,
                                                                                    4 6
          25
равный       .
          24
     Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума
функции называется также методом множителей Лагранжа.

             ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
     Упражнение 1. Найти экстремумы данных функций:
     1) f ( x) = x − ln x           6) f ( x ) = ( 2 − x )( x + 1) 2
     2) f ( x ) = 2 x 2 − x 4 + 5                7*) f ( x ) = x 3 ( x − 2) 2
     3) f ( x ) = xe 3 x                         8)
                                        f ( x) = x 3 − 3x 2 − 24 x + 72
     4) f ( x ) = xe − x                         9*) f ( x) = x3 x − 1
      5) f ( x ) = x − x x
      Упражнение 2. Найти наибольшее и наименьшее значение заданной функ-
ции на предложенном отрезке:
     1)   f ( x ) = x 3 − 6 x 2 − 15 x + 2 , а) x ∈ [−2;6] ;             b) x ∈ [−2;3] ;   c)
         x ∈ [0;2] ; d) x ∈ [ 4;6]
                         4
     2) f ( x) = x + 2 , x ∈[1;3] ;
                        x
     3) f ( x ) = x − 4 x + 6 ; x ∈ [−3;5]
                    2


     4) f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 3 ; x ∈ [−3;2]

Страницы