Колебания и волны. Алешкевич В.А - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

119
Ëåêöèÿ 5
òî÷íèêà O
1
è ñðåäíåãî èñòî÷íèêà O
N/2
áóäåò ðàâíà
2/λ
. Ïîñêîëüêó ýòà ðàçíîñòü, êàê
âèäíî èç ðèñ. 5.24, ðàâíà
ϑ
sin
2
l
, òî
2
sin
2
λ
=ϑ=∆
l
r
. (5.51)
Àíàëîãè÷íî, â ïðîòèâîôàçå áóäóò ïðèõîäèòü âîëíû è îò äðóãèõ ïàð èñòî÷íèêîâ
(O
2
,O
N/2+1
; O
3
,O
N/2+2
; ...; O
N/21
,O
N
). Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M áóäåò íàáëþäàòüñÿ ïåðâûé
ìèíèìóì äèôðàêöèîííîé êàðòèíû. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàïèñàòü óñëîâèå, ïîäîáíîå (5.51),
è äëÿ äðóãèõ ìèíèìóìîâ. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ñòðîãèé àíàëèç, áîëåå 90% âñåé ýíåðãèè
ïåðåíîñèòñÿ âîëíîé â ïðåäåëàõ óãëà
ϑ2
. Ïîýòîìó íà ðèñóíêå (5.23) ãðàíèöû Ã
1
è Ã
2
âåñüìà
óñëîâíû è î÷åð÷èâàþò ëèøü îñíîâíóþ, íàèáîëåå ýíåðãîåìêóþ ÷àñòü ïó÷êà.
Äëÿ îöåíêè äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè âîëíîâûõ ïó÷êîâ èñïîëüçóåòñÿ óãîë
ϑ, êîòîðûé ïðè λ>>l îöåíèâàåòñÿ ñîãëàñíî (5.51) ïî ôîðìóëå
L
λ
≈ϑ
. (5.52)
Òàêóþ ðàñõîäèìîñòü ïó÷îê ïðèîá-
ðåòàåò íà íåêîòîðîì õàðàêòåðíîì ðàññòîÿ-
íèè L. Åãî ìîæíî ëåãêî îöåíèòü èç ðèñóí-
êà5.25, íà êîòîðîì ïóíêòèðîì èçîáðàæåíû
àñèìïòîòû ê ãðàíèöàì Ã
1
è Ã
2
. Áóäåì óñëîâ-
íî ñ÷èòàòü, ÷òî íà ðàññòîÿíèè L ïîïåðå÷íûé
ðàçìåð ïó÷êà óäâîèëñÿ è ñòàë ðàâíûì
l2
.
Òîãäà ñ ó÷åòîì (5.52) ìû ìîæåì çàïèñàòü:
l
l λ
==ϑ
L
. (5.53)
Îòñþäà
λ
=
2
l
L
. (5.54)
Âåëè÷èíà L íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííîé äëèíîé ïó÷êà ñ äëèíîé âîëíû
λ
è ïî-
ïåðå÷íûì ðàçìåðîì
l
. Îíà îïðåäåëÿåò ìàñøòàá ðàññòîÿíèé, íà êîòîðûõ ðàçâèâàåòñÿ
çàìåòíàÿ äèôðàêöèÿ ïó÷êà.
Ñäåëàåì íåêîòîðûå îöåíêè.
Âîïûòå, èçîáðàæåííîì íà ðèñóí-
êå5.22,
5=l
ñì,
3=λ
ìì, è
80~L
ñì.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êþâåòå äèôðàêöèÿ
ïðîñòî íå óñïåâàåò çàìåòíî ðàçâèòüñÿ.
Ïðè óìåíüøåíèè
l
(ðèñ. 5.23) äî âåëè-
÷èíû
155 =λ=l
ìì, äèôðàêöèîííàÿ
äëèíà ïó÷êà
5,7=L
ñì, è äèôðàêöèÿ
ñòàíîâèòñÿ îò÷åòëèâî âèäíà.
Ðèñ. 5.26.
Â
Î
1
Î
2
L
Ñ
l
K
Ðèñ. 5.25.
Ã
1
Ã
2
L
J
J
2
l
l
Ëåêöèÿ 5                                                                                    119
òî÷íèêà O1 è ñðåäíåãî èñòî÷íèêà ON/2 áóäåò ðàâíà λ / 2 . Ïîñêîëüêó ýòà ðàçíîñòü, êàê
                         l
âèäíî èç ðèñ. 5.24, ðàâíà sin ϑ , òî
                         2
                                       l       λ
                                   ∆r = sin ϑ = .                            (5.51)
                                       2       2
        Àíàëîãè÷íî, â ïðîòèâîôàçå áóäóò ïðèõîäèòü âîëíû è îò äðóãèõ ïàð èñòî÷íèêîâ
(O2, ON/2 + 1; O3, ON/2 + 2; ...; ON/2 – 1, ON). Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M áóäåò íàáëþäàòüñÿ ïåðâûé
ìèíèìóì äèôðàêöèîííîé êàðòèíû. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà íàïèñàòü óñëîâèå, ïîäîáíîå (5.51),
è äëÿ äðóãèõ ìèíèìóìîâ. Îäíàêî, êàê ïîêàçûâàåò ñòðîãèé àíàëèç, áîëåå 90% âñåé ýíåðãèè
ïåðåíîñèòñÿ âîëíîé â ïðåäåëàõ óãëà 2ϑ . Ïîýòîìó íà ðèñóíêå (5.23) ãðàíèöû Ã1 è Ã2 âåñüìà
óñëîâíû è î÷åð÷èâàþò ëèøü îñíîâíóþ, íàèáîëåå ýíåðãîåìêóþ ÷àñòü ïó÷êà.
         Äëÿ îöåíêè äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè âîëíîâûõ ïó÷êîâ èñïîëüçóåòñÿ óãîë
ϑ, êîòîðûé ïðè l >> λ îöåíèâàåòñÿ ñîãëàñíî (5.51) ïî ôîðìóëå
                                         λ
                                      ϑ≈ .                                               (5.52)
                                         L
        Òàêóþ ðàñõîäèìîñòü ïó÷îê ïðèîá-
                                                                         Ã1
ðåòàåò íà íåêîòîðîì õàðàêòåðíîì ðàññòîÿ-
                                                                                              J
íèè L. Åãî ìîæíî ëåãêî îöåíèòü èç ðèñóí-                  l                            2l
                                                                                              J
êà 5.25, íà êîòîðîì ïóíêòèðîì èçîáðàæåíû
àñèìïòîòû ê ãðàíèöàì Ã1 è Ã2. Áóäåì óñëîâ-                               Ã2
íî ñ÷èòàòü, ÷òî íà ðàññòîÿíèè L ïîïåðå÷íûé
                                                                              L
ðàçìåð ïó÷êà óäâîèëñÿ è ñòàë ðàâíûì 2l .
Òîãäà ñ ó÷åòîì (5.52) ìû ìîæåì çàïèñàòü:                             Ðèñ. 5.25.
                                              l λ
                                         ϑ=    = .                                       (5.53)
                                              L l
Îòñþäà
                                       l2
                                          . L=                           (5.54)
                                        λ
       Âåëè÷èíà L íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííîé äëèíîé ïó÷êà ñ äëèíîé âîëíû λ è ïî-
ïåðå÷íûì ðàçìåðîì l . Îíà îïðåäåëÿåò ìàñøòàá ðàññòîÿíèé, íà êîòîðûõ ðàçâèâàåòñÿ
çàìåòíàÿ äèôðàêöèÿ ïó÷êà.
         Ñäåëàåì íåêîòîðûå îöåíêè.
 îïûòå, èçîáðàæåííîì íà ðèñóí-                                     Î1
êå 5.22, l = 5 ñì, λ = 3 ìì, è L ~ 80 ñì.
                                                  Â                      Ñ
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êþâåòå äèôðàêöèÿ                                              L
ïðîñòî íå óñïåâàåò çàìåòíî ðàçâèòüñÿ.                                    l

Ïðè óìåíüøåíèè l (ðèñ. 5.23) äî âåëè-
                                                                    Î2
÷èíû l = 5λ = 15 ìì, äèôðàêöèîííàÿ
äëèíà ïó÷êà L = 7,5 ñì, è äèôðàêöèÿ
                                                               K
ñòàíîâèòñÿ îò÷åòëèâî âèäíà.                                        Ðèñ. 5.26.

Страницы