Колебания и волны. Алешкевич В.А - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

121
ËÅÊÖÈß 6
Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. Êàïèëëÿðíûå âîë-
íû. Öóíàìè. Âíóòðåííèå âîëíû. Àêóñòè÷åñêèå âîëíû áîëüøîé àìïëèòóäû. Ëèíåéíûé è
íåëèíåéíûé ðåæèìû ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Óåäèíåííûå âîëíû (ñîëèòîíû).
Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. Ìíîãèå èç íàñ ìîãóò
äîëãî ëþáîâàòüñÿ ïîâåðõíîñòüþ ìîðÿ èëè ðåêè, ïî êîòîðîé ïåðåêàòûâàþòñÿ âîëíû. Ðîæäåí-
íûå âåòðîì, îíè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ çàòåì çà ñ÷åò ñèëû òÿæåñòè. Òàêèå âîëíû íàçûâàþòñÿ
ãðàâèòàöèîííûìè. ×àñòèöû âîäû ñîâåðøàþò â íèõ äâèæåíèå ïî êðóãîâûì è ýëëèïòè÷åñêèì
òðàåêòîðèÿì («ââåðõâíèç» è «âïåðåäíàçàä»
îäíîâðåìåííî), ïîýòîìó òàêèå âîëíû (êàê è
âîëíû Ëÿâà) íåëüçÿ îòíåñòè íè ê ïðîäîëüíûì,
íè ê ïîïåðå÷íûì. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû
îáëàäàþò ðÿäîì óäèâèòåëüíûõ ñâîéñòâ, ê àíà-
ëèçó êîòîðûõ ìû è ïðèñòóïèì.
Ïóñòü ïî ïîâåðõíîñòè âîäîåìà ãëó-
áèíîé H ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Ox
ïîâåðõíîñòíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà
)sin(),(
0
xtstxs k−ω=
, (6.1)
ãäå s  ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè âîäû ââåðõ îò ðàâíîâåñíîãî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæå-
íèÿ, îòìå÷åííîãî íà ðèñ. 6.1 ïóíêòèðîì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
Hs <<||
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äàâëåíèå æèäêîñòè íà ãëóáèíå z ðàâíî:
),,(,,( txzpgztxzp δ+ρ=)
, (6.2)
ãäå
pδ
 äîáàâêà ê ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ
gzρ
, îáóñëîâëåííàÿ âîëíîâûì äâè-
æåíèåì ïîâåðõíîñòè. Ñäåëàåì òàêæå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî
),()(),,( txgszftxzp ρ=δ
. (6.3)
Âûðàæåíèå (6.3) çàïèñàíî â ïðèáëèæåíèè, ÷òî âîçìóùåíèå äàâëåíèÿ âáëèçè ïî-
âåðõíîñòè
)0( →z
îïðåäåëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ãèäðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì
gsρ
,
ñâÿçàííûì ñ èçìåíåíèåì óðîâíÿ æèäêîñòè ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû:
),(),,0( txgstxp ρ=δ
, (6.4)
ïðè÷åì ñ ãëóáèíîé ýòî âîçìóùåíèå äîëæíî óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ
)(zf
ñ
ðîñòîì z òàêæå äîëæíà óáûâàòü, ïðè ýòîì
1)0( =f
. Ïîçæå ìû äîêàæåì, ÷òî ïðåäñòàâëå-
íèå âîçìóùåíèÿ äàâëåíèÿ â âèäå (6.3) îïðàâäàííî.
Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè íàì íåîáõîäèìî, âî-ïåðâûõ, äëÿ
çàäàííîé ÷àñòîòû
ω
íàéòè k, òî åñòü óñòàíîâèòü äèñïåðñèîííóþ çàâèñèìîñòü
)(kω=ω
è, âî-âòîðûõ, îïðåäåëèòü âèä ôóíêöèè
)(zf
. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ñ ó÷åòîì (6.2)
çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé è íåâÿçêîé æèäêîñòè â ïëîñêî-
ñòè XOZ (ñì. óðàâíåíèå (3.30) â ëåêöèè ïî ãèäðîäèíàìèêå):
s
x
0
H
z
Ðèñ. 6.1.
                                                                                      121

                                       ËÅÊÖÈß 6
        Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. Êàïèëëÿðíûå âîë-
íû. Öóíàìè. Âíóòðåííèå âîëíû. Àêóñòè÷åñêèå âîëíû áîëüøîé àìïëèòóäû. Ëèíåéíûé è
íåëèíåéíûé ðåæèìû ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Óåäèíåííûå âîëíû (ñîëèòîíû).


        Âîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû. Ìíîãèå èç íàñ ìîãóò
äîëãî ëþáîâàòüñÿ ïîâåðõíîñòüþ ìîðÿ èëè ðåêè, ïî êîòîðîé ïåðåêàòûâàþòñÿ âîëíû. Ðîæäåí-
íûå âåòðîì, îíè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ çàòåì çà ñ÷åò ñèëû òÿæåñòè. Òàêèå âîëíû íàçûâàþòñÿ
ãðàâèòàöèîííûìè. ×àñòèöû âîäû ñîâåðøàþò â íèõ äâèæåíèå ïî êðóãîâûì è ýëëèïòè÷åñêèì
òðàåêòîðèÿì («ââåðõ–âíèç» è «âïåðåä–íàçàä»
                                             s
îäíîâðåìåííî), ïîýòîìó òàêèå âîëíû (êàê è
âîëíû Ëÿâà) íåëüçÿ îòíåñòè íè ê ïðîäîëüíûì,
                                              0                                    x
íè ê ïîïåðå÷íûì. Ãðàâèòàöèîííûå âîëíû
îáëàäàþò ðÿäîì óäèâèòåëüíûõ ñâîéñòâ, ê àíà-
ëèçó êîòîðûõ ìû è ïðèñòóïèì.                         H
         Ïóñòü ïî ïîâåðõíîñòè âîäîåìà ãëó-             z
áèíîé H ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Ox                                     Ðèñ. 6.1.
ïîâåðõíîñòíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà
                                 s ( x, t ) = s 0 sin(ωt − kx ) ,                     (6.1)
ãäå s — ñìåùåíèå ïîâåðõíîñòè âîäû ââåðõ îò ðàâíîâåñíîãî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæå-
íèÿ, îòìå÷åííîãî íà ðèñ. 6.1 ïóíêòèðîì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî | s |<< H .
        Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äàâëåíèå æèäêîñòè íà ãëóáèíå z ðàâíî:
                               p ( z , x, t ) = ρgz + δp ( z , x, t ) ,               (6.2)
ãäå δp — äîáàâêà ê ãèäðîñòàòè÷åñêîìó äàâëåíèþ ρgz , îáóñëîâëåííàÿ âîëíîâûì äâè-
æåíèåì ïîâåðõíîñòè. Ñäåëàåì òàêæå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî
                               δp ( z , x, t ) = f ( z )ρgs ( x, t ) .                (6.3)
       Âûðàæåíèå (6.3) çàïèñàíî â ïðèáëèæåíèè, ÷òî âîçìóùåíèå äàâëåíèÿ âáëèçè ïî-
âåðõíîñòè ( z → 0) îïðåäåëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ãèäðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì ρgs ,
ñâÿçàííûì ñ èçìåíåíèåì óðîâíÿ æèäêîñòè ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû:
                                  δp (0, x, t ) = ρgs ( x, t ) ,                      (6.4)
ïðè÷åì ñ ãëóáèíîé ýòî âîçìóùåíèå äîëæíî óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f (z ) ñ
ðîñòîì z òàêæå äîëæíà óáûâàòü, ïðè ýòîì f (0) = 1 . Ïîçæå ìû äîêàæåì, ÷òî ïðåäñòàâëå-
íèå âîçìóùåíèÿ äàâëåíèÿ â âèäå (6.3) îïðàâäàííî.
       Äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè íàì íåîáõîäèìî, âî-ïåðâûõ, äëÿ
çàäàííîé ÷àñòîòû ω íàéòè k, òî åñòü óñòàíîâèòü äèñïåðñèîííóþ çàâèñèìîñòü ω = ω(k )
è, âî-âòîðûõ, îïðåäåëèòü âèä ôóíêöèè f (z ) . Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ñ ó÷åòîì (6.2)
çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ýéëåðà äëÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé è íåâÿçêîé æèäêîñòè â ïëîñêî-
ñòè XOZ (ñì. óðàâíåíèå (3.30) â ëåêöèè ïî ãèäðîäèíàìèêå):

Страницы