Колебания и волны. Алешкевич В.А - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

123
Ëåêöèÿ 6
Òîãäà (6.10) ïðèìåò âèä:
.0
d
d
2
2
2
=− f
z
f
k
(6.12)
Ñ ìåòîäîì ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé ìû ïîçíàêîìèëèñü â ëåêöèÿõ ïî êîëåáàíèÿì.
Èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêó
z
Aezf
λ
=
)(
, ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
0
22
=−λ k
,
îòêóäà
k±=λ
2,1
, è îáùåå ðåøåíèå (6.12) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ôóíêöèè:
zz
BeAezf
kk −
+=
)(
, (6.13)
ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ
)(zf
ñëåäóþùèå:
.0
d
d
;1)0( ==
=
Hz
z
f
f
(6.14)
Ïîäñòàâëÿÿ (6.13) â (6.14), ïîëó÷àåì:
.0
;1
=−
=+
−
HH
BeAe
BA
kk
(6.15)
Îòñþäà
fz
zH
H
()
[( )]
()
=
−
ch
ch
k
k
, (6.16)
ãäå ôóíêöèÿ
)(
2
1
ch
α−α
+=α
ee
 ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ.
Ãðàôèê ôóíêöèè
)(zf
èçîáðàæåí íà
ðèñ. 6.2. Òåïåðü îñòàëîñü òîëüêî îïðåäåëèòü
âîëíîâîå ÷èñëî k, âõîäÿùåå â (6.1) è (6.3). Ýòî
ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ñíà÷àëà èç (6.1) íàéòè
âåðòèêàëüíîå óñêîðåíèå ÷àñòèöû íà ïîâåðõ-
íîñòè æèäêîñòè. Ïðè ýòîì íàäî ó÷åñòü, ÷òî
ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ
z
v ñîîòâåòñòâóþò
óìåíüøåíèþ s:
),()sin(
22
0
2
2
txsxts
t
s
t
z
ω=−ωω=
∂
∂
−=
∂
∂
k
v
. (6.17)
Ïîäñòàâèì (6.17) â ëåâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ (6.6), à ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî
óðàâíåíèÿ çàïèøåì, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (6.3). Òîãäà ïîëó÷èì
)(th
d
d
0
2
Hgs
z
f
gss
z
kkρ=ρ−=ρω
=
. (6.18)
 (6.18) ó÷òåíî, ÷òî
.ch/sh th,sh)ch( αα=αα=
′
α
Ïîýòîìó äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
ïîëó÷àåòñÿ â âèäå:
2/1
)(th
⋅⋅=ω
H
H
gH
k
k
k
. (6.19)
Îáîçíà÷èì
gHc =
0
. Òîãäà
2/1
0
)(th
⋅=ω
H
H
c
k
k
k
. (6.20)
fz()
z
0
1
H
Ðèñ. 6.2.
Ëåêöèÿ 6                                                                                       123
        Òîãäà (6.10) ïðèìåò âèä:
                                       d2 f                                         (6.12)
                                             − k 2 f = 0.
                                        dz 2
        Ñ ìåòîäîì ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé ìû ïîçíàêîìèëèñü â ëåêöèÿõ ïî êîëåáàíèÿì.
Èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêó f ( z ) = Ae λz , ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå λ2 − k 2 = 0 ,
îòêóäà λ1, 2 = ± k , è îáùåå ðåøåíèå (6.12) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ôóíêöèè:
                                    f ( z ) = Ae kz + Be − kz ,                               (6.13)
ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ f (z ) ñëåäóþùèå:
                                                   df                                         (6.14)
                                  f (0) = 1;                   = 0.
                                                   dz   z =H
        Ïîäñòàâëÿÿ (6.13) â (6.14), ïîëó÷àåì:

                                     A + B = 1;
                                                                                              (6.15)
                                     Ae kH − Be −kH = 0.
        Îòñþäà

                                               ch[k ( z − H )]
                                    f ( z) =                   ,                              (6.16)
                                                 ch (kH )
                  1 α
ãäå ôóíêöèÿ chα =   (e + e −α ) — ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ.
                  2
        Ãðàôèê ôóíêöèè f (z ) èçîáðàæåí íà f(z)
ðèñ. 6.2. Òåïåðü îñòàëîñü òîëüêî îïðåäåëèòü
âîëíîâîå ÷èñëî k, âõîäÿùåå â (6.1) è (6.3). Ýòî                1
ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ñíà÷àëà èç (6.1) íàéòè
âåðòèêàëüíîå óñêîðåíèå ÷àñòèöû íà ïîâåðõ-
íîñòè æèäêîñòè. Ïðè ýòîì íàäî ó÷åñòü, ÷òî                                                         z
                                                               0                          H
ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ v z ñîîòâåòñòâóþò                                      Ðèñ. 6.2.
óìåíüøåíèþ s:
                     ∂v z     ∂2s
                          = − 2 = s 0 ω 2 sin(ωt − kx ) = ω 2 s ( x, t ) .    (6.17)
                      ∂t      ∂t
        Ïîäñòàâèì (6.17) â ëåâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ (6.6), à ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî
óðàâíåíèÿ çàïèøåì, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå (6.3). Òîãäà ïîëó÷èì
                                          df
                            ρω 2 s = −ρgs         = ρgs k th ( kH ) .            (6.18)
                                          dz z =0
 (6.18) ó÷òåíî, ÷òî (chα )′ = shα, thα = shα / chα. Ïîýòîìó äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå
ïîëó÷àåòñÿ â âèäå:
                                                                   1/ 2
                                         th (kH )                       .                   (6.19)
                           ω = gH ⋅ k ⋅           
                                         kH 
        Îáîçíà÷èì c 0 = gH . Òîãäà
                                                               1/ 2
                                               th (kH )             .                       (6.20)
                                   ω = c0 ⋅ k           
                                               kH 

Страницы