Колебания и волны. Алешкевич В.А - 123 стр.

122                                                                       Êîëåáàíèÿ è âîëíû

                             ∂v          ∂v x      ∂v x    ∂δp
                           ρ x + v x          +v z      =−     ;
                             ∂t           ∂x        ∂z      ∂x
                                                                                       (6.5)
                             ∂v          ∂v z      ∂v z    ∂δp
                           ρ z + v x          +v z      =−     .
                             ∂t           ∂x        ∂z      ∂z

       Ïðè çàïèñè (6.5) ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äâèæåíèå ÷àñòèö ïî îñè Oy îòñóòñòâóåò.
                            ∂v        ∂v z       ∂v z      ∂v z
Ó÷òåì äàëåå, ÷òî ÷ëåíàìè v x x , v z       , vx       è vz      â ñèëó èõ ìàëîñòè ìîæíî
                             ∂x        ∂z         ∂x        ∂z
ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà ïîëó÷àåì
                                     ∂v       ∂δp
                                 ρ x =−             ;
                                      ∂t        ∂x                                 (6.6)
                                     ∂v z     ∂δp
                                 ρ         =−       .
                                      ∂t        ∂z
        Ýòè óðàâíåíèÿ äîïîëíèì óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè:
                                     ∂v x ∂v z
                                          +     = 0.                           (6.7)
                                      ∂x    ∂z
        Óðàâíåíèÿ (6.6) è (6.7) ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ äàþò âîçìîæíîñòü
ðàññ÷èòàòü v z , v x è δp è, òåì ñàìûì, ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè æèäêîñòè,
âêëþ÷àÿ äâèæåíèå åå ïîâåðõíîñòè.
        Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïåðâîå èç óðàâíåíèé (6.6) ïî õ, à âòîðîå — ïî z:
                                        ∂ ∂v x    ∂ 2 δp
                                    ρ          =−        ;
                                        ∂t ∂x      ∂x 2
                                                                                       (6.8)
                                        ∂ ∂v z   ∂ 2 δp
                                    ρ          =− 2 .
                                        ∂t ∂z     ∂z
 ëåâûõ ÷àñòÿõ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé èçìåíåí ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
       Ñëîæèì òåïåðü óðàâíåíèÿ (6.8). Òîãäà ñ ó÷åòîì (6.7) ìîæåì çàïèñàòü:

                           ∂  ∂v x ∂v z       ∂ 2 δp ∂ 2 δp 
                       ρ          +      = − 2 +            = 0.                  (6.9)
                           ∂t  ∂x   ∂z        ∂x      ∂z 2 
        Óðàâíåíèå
                                        ∂ 2 δp       ∂ 2 δp                   (6.10)
                                             =0  +
                                  ∂x 2  ∂z 2
ÿâëÿåòñÿ çíàìåíèòûì óðàâíåíèåì Ëàïëàñà, èñïîëüçóåìûì âî ìíîãèõ ðàçäåëàõ ôèçèêè.
Ïîýòîìó åãî ðåøåíèå õîðîøî èçâåñòíî.
         Íà ïîâåðõíîñòè âîäîåìà ïðè z = 0 ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(6.4), à íà äíå ïðè z = H äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå v z = 0 , èç êîòîðîãî ñ ó÷åòîì
âòîðîãî óðàâíåíèÿ (6.6) ïîëó÷àåì:
                                          ∂δp                                         (6.11)
                                                        = 0.
                                           ∂z    z =H
                                                               ∂ 2 δð
        Ïîäñòàâèì äàëåå (6.3) â (6.10) è ó÷òåì, ÷òî                 2
                                                                        = −k 2 δð .
                                                               ∂x