Колебания и волны. Алешкевич В.А - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
128
èãðàòü çàìåòíóþ ðîëü ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Ïîä èõ äåéñòâèåì ïîâåðõíîñòü
âîäû ñòðåìèòñÿ óìåíüøèòü ñâîþ ïëîùàäü. Ñèòóàöèÿ íàïîìèíàåò ðàññìîòðåííóþ ðàíåå,
â ñëó÷àå ñ íàòÿíóòûì ðåçèíîâûì øíóðîì. Òàêèå âîëíû íàçûâàþòñÿ êàïèëëÿðíûìè.
Åñëè ïðè óâåëè÷åíèè íàòÿæåíèÿ øíóðà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïî íåìó âîëí
âîçðàñòàëà, òî ïðè óñèëåíèè ðîëè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ (óìåíüøåíèè
R~λ
) ñêî-
ðîñòü êàïèëëÿðíûõ âîëí äîëæíà òàêæå óâåëè÷èâàòüñÿ. Èçâåñòíî, ÷òî äàâëåíèå ïîä èñ-
êðèâëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ
R
p
σ
~
, ãäå
σ
 êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñò-
íîãî íàòÿæåíèÿ. Åñëè ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî
Rπ=λ 2
, òî ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé
äëÿ ñêîðîñòè çâóêà â ãàçå (ïðè
1=γ
) ìîæíî îöåíèòü ôàçîâóþ ñêîðîñòü òàêèõ âîëí:
k
k ρ
σ
=
ρ
=
ω
=
p
c
ê
. (6.29)
Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ôîðìóëà (6.29) äëÿ êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëóáîêîé âîäû îêà-
çûâàåòñÿ òî÷íîé. Ó÷åò êîíå÷íîñòè ãëóáèíû âîäîåìà äàåò äëÿ ýòèõ âîëí ðåçóëüòàò, àíàëî-
ãè÷íûé ïîëó÷åííîìó âûøå äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí: â ôîðìóëå (6.29) ïîä êîðíåì äî-
ïîëíèòåëüíî ïîÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü
)th( Hk
.
Êàïèëëÿðíûå âîëíû òàêæå èñïûòûâàþò äèñïåðñèþ, îäíàêî, â îòëè÷èå îò ãðàâè-
òàöèîííûõ, èõ ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì âîëíîâîãî ÷èñëà k, ò.å. ñ óìåíü-
øåíèåì
λ
. Ïîëåçíî çàïèñàòü äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (6.29) â âèäå:
32
k
ρ
σ
=ω
. (6.30)
Êàê ñëåäóåò èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü u
ê
êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëó-
áîêîé âîäû áîëüøå èõ ôàçîâîé ñêîðîñòè c
ê
â ïîëòîðà ðàçà:
êàïêàï
2
3
2
3
d
d
cu =
ρ
σ
=
ω
= k
k
,
òîãäà êàê äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí (ñì. (6.21))
ãðãð
2
1
2
1
c
g
u ==
k
, ò.å. ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
âäâîå ìåíüøå ôàçîâîé. Ðàçëè÷èå ãðóïïîâîé è ôàçîâîé ñêîðîñòåé êàïèëëÿðíûõ âîëí õîðî-
øî çàìåòíî íà ïîâåðõíîñòè âîäû ïðè ïîðûâàõ âåòðà: âèäíî, ÷òî ìåëêàÿ ðÿáü âíóòðè ãðóï-
ïû âîëí äâèæåòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì âåñü âîëíîâîé ïàêåò.
Åñëè áû ìû ñ ñàìîãî íà÷àëà ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ó÷ëè êàê
äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè, òàê è ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå, ìû áû ïîëó÷èëè äëÿ âîëí ãëó-
áîêîé âîäû îäíî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå, èç êîòîðîãî ôîðìóëû (6.21) è (6.30) ïî-
ëó÷èëèñü áû ïðåäåëüíûìè ïåðåõîäàìè â îáëàñòè ìàëûõ è áîëüøèõ k.
Äëÿ âîëíîâûõ ÷èñåë
1−
>>
Hk
ìû ìîæåì îáúåäèíèòü (6.21) è (6.30) ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:
ω
σ
ρ
=+gk k
3
. (6.31)
Îòñþäà ñêîðîñòü ãðàâèòàöèîííî-êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëóáîêîé âîäû ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
k
kk ρ
σ
+=
ω
=
g
c
. (6.32)
128                                                         Êîëåáàíèÿ è âîëíû

èãðàòü çàìåòíóþ ðîëü ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Ïîä èõ äåéñòâèåì ïîâåðõíîñòü
âîäû ñòðåìèòñÿ óìåíüøèòü ñâîþ ïëîùàäü. Ñèòóàöèÿ íàïîìèíàåò ðàññìîòðåííóþ ðàíåå,
â ñëó÷àå ñ íàòÿíóòûì ðåçèíîâûì øíóðîì. Òàêèå âîëíû íàçûâàþòñÿ êàïèëëÿðíûìè.
        Åñëè ïðè óâåëè÷åíèè íàòÿæåíèÿ øíóðà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïî íåìó âîëí
âîçðàñòàëà, òî ïðè óñèëåíèè ðîëè ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ (óìåíüøåíèè λ ~ R ) ñêî-
ðîñòü êàïèëëÿðíûõ âîëí äîëæíà òàêæå óâåëè÷èâàòüñÿ. Èçâåñòíî, ÷òî äàâëåíèå ïîä èñ-
                                                 σ
êðèâëåííîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ p ~ , ãäå σ — êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñò-
                                                 R
íîãî íàòÿæåíèÿ. Åñëè ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî λ = 2πR , òî ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé
äëÿ ñêîðîñòè çâóêà â ãàçå (ïðè γ = 1 ) ìîæíî îöåíèòü ôàçîâóþ ñêîðîñòü òàêèõ âîëí:
                                    ω      p      σ
                                  cê = =      =     k.                         (6.29)
                                     k     ρ      ρ
        Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ôîðìóëà (6.29) äëÿ êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëóáîêîé âîäû îêà-
çûâàåòñÿ òî÷íîé. Ó÷åò êîíå÷íîñòè ãëóáèíû âîäîåìà äàåò äëÿ ýòèõ âîëí ðåçóëüòàò, àíàëî-
ãè÷íûé ïîëó÷åííîìó âûøå äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí: â ôîðìóëå (6.29) ïîä êîðíåì äî-
ïîëíèòåëüíî ïîÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü th( kH ) .
        Êàïèëëÿðíûå âîëíû òàêæå èñïûòûâàþò äèñïåðñèþ, îäíàêî, â îòëè÷èå îò ãðàâè-
òàöèîííûõ, èõ ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì âîëíîâîãî ÷èñëà k, ò.å. ñ óìåíü-
øåíèåì λ . Ïîëåçíî çàïèñàòü äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (6.29) â âèäå:
                                           σ 3
                                         ω2 =k .                              (6.30)
                                           ρ
        Êàê ñëåäóåò èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü uê êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëó-
                                                                   dω 3    σ    3
áîêîé âîäû áîëüøå èõ ôàçîâîé ñêîðîñòè cê â ïîëòîðà ðàçà: u êàï =     =       k = c êàï ,
                                                                   dk 2    ρ    2
                                                 1 g 1
òîãäà êàê äëÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí (ñì. (6.21)) u ãð =  = c ãð , ò.å. ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü
                                                 2 k     2
âäâîå ìåíüøå ôàçîâîé. Ðàçëè÷èå ãðóïïîâîé è ôàçîâîé ñêîðîñòåé êàïèëëÿðíûõ âîëí õîðî-
øî çàìåòíî íà ïîâåðõíîñòè âîäû ïðè ïîðûâàõ âåòðà: âèäíî, ÷òî ìåëêàÿ ðÿáü âíóòðè ãðóï-
ïû âîëí äâèæåòñÿ ìåäëåííåå, ÷åì âåñü âîëíîâîé ïàêåò.
        Åñëè áû ìû ñ ñàìîãî íà÷àëà ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ó÷ëè êàê
äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè, òàê è ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå, ìû áû ïîëó÷èëè äëÿ âîëí ãëó-
áîêîé âîäû îäíî äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå, èç êîòîðîãî ôîðìóëû (6.21) è (6.30) ïî-
ëó÷èëèñü áû ïðåäåëüíûìè ïåðåõîäàìè â îáëàñòè ìàëûõ è áîëüøèõ k.
        Äëÿ âîëíîâûõ ÷èñåë k >> H −1 ìû ìîæåì îáúåäèíèòü (6.21) è (6.30) ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì:

                                         σ 3
                                     ω=    k .
                                           gk +                           (6.31)
                                         ρ
Îòñþäà ñêîðîñòü ãðàâèòàöèîííî-êàïèëëÿðíûõ âîëí ãëóáîêîé âîäû ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé

                                         ω      g σ
                                    c=     =     + k.                            (6.32)
                                         k      k ρ

Страницы