Колебания и волны. Алешкевич В.А - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
126
Îòñþäà
).cos(
d
d
),sin()(
0
0
xts
g
z
f
xtsgzf
z
x
k
k
k
−ω
ω
=
−ω
ω
=
v
v
(6.24)
Íà ðèñ. 6.5 ïîêàçàíû âåêòîðû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ãëóáèíå z è íà ïîâåðõíîñòè â
ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóíêòèðîì èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå âîëíû ÷åðåç ìà-
ëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïîä ãðåáíåì âîëíû ÷àñòèöû èìåþò ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè
0>
x
v
, à ïîä âïàäèíîé
.0<
x
v
Ñêîðîñòü íåêîòîðîé ÷àñòèöû A íàïðàâëåíà âíèç, è ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò èçìåíÿòüñÿ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî â ïîñëåäóþùèé ìîìåíò ñêîðîñòü
÷àñòèöû A áóäåò òàêîé, êàê ó ÷àñòèöû B â íàñòîÿùèé ìîìåíò, çàòåì  êàê ó ÷àñòèöû C â
íàñòîÿùèé ìîìåíò, è òàê äàëåå. Ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû A áóäåò ýëëèïòè÷åñêîé.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ êîîðäèíàòû z (ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ)
0→
z
v , ýëëèïñû ñïëþùèâà-
þòñÿ, è ïðè z λ ÷àñòèöû æèäêîñòè êîëåáëþòñÿ ïðàêòè÷åñêè âäîëü îñè Ox.
Ðàçìåð
l
áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñà ìîæíî îöåíèòü èç óñëîâèÿ
TsgT
x
0max
)(
ω
=≈
k
vl
. (6.25)
Ñðàâíèì
l
ñ äëèíîé âîëíû
λ
:
Ts
g
0
ωλ
≈
λ
kl
. (6.26)
Ó÷òåì, ÷òî
c=ω k/
,
cT=λ
,
gHc =
0
 ñêîðîñòü âîëí ìåëêîé âîäû. Òîãäà
H
s
c
c
0
2
2
0
≈
λ
l
. (6.27)
Äëÿ ìåëêîé âîäû
0
cc =
, è
1
0
<<=
λ
H
s
l
. (6.28)
Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå
H~λ
, òî
0
~
sl
, ò.å. âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì àìïëèòóäû
âîëíû
0
s
. Íî òàê êàê
Hs <<
0
, òî àìïëèòóäà ãîðèçîíòàëüíûõ êîëåáàíèé
λ<<l
.
s
x
0
H
z
A
2
l
B
C
l
Ðèñ. 6.5.
126                                                                   Êîëåáàíèÿ è âîëíû

        Îòñþäà
                                              k
                             v x = f ( z) g     s 0 sin(ωt − kx ),
                                              ω
                                                                              (6.24)
                                  df g
                             vz =      s 0 cos(ωt − kx ).
                                  dz ω
        Íà ðèñ. 6.5 ïîêàçàíû âåêòîðû ñêîðîñòè ÷àñòèö íà ãëóáèíå z è íà ïîâåðõíîñòè â
ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóíêòèðîì èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå âîëíû ÷åðåç ìà-
ëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Ïîä ãðåáíåì âîëíû ÷àñòèöû èìåþò ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè
v x > 0 , à ïîä âïàäèíîé v x < 0. Ñêîðîñòü íåêîòîðîé ÷àñòèöû A íàïðàâëåíà âíèç, è ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò èçìåíÿòüñÿ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî â ïîñëåäóþùèé ìîìåíò ñêîðîñòü
÷àñòèöû A áóäåò òàêîé, êàê ó ÷àñòèöû B â íàñòîÿùèé ìîìåíò, çàòåì — êàê ó ÷àñòèöû C â
íàñòîÿùèé ìîìåíò, è òàê äàëåå. Ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû A áóäåò ýëëèïòè÷åñêîé.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ êîîðäèíàòû z (ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ) v z → 0 , ýëëèïñû ñïëþùèâà-
þòñÿ, è ïðè z   λ ÷àñòèöû æèäêîñòè êîëåáëþòñÿ ïðàêòè÷åñêè âäîëü îñè Ox.
        Ðàçìåð l áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñà ìîæíî îöåíèòü èç óñëîâèÿ
                                                       k
                                l ≈ (v x ) max T = g     s 0T .                   (6.25)
                                                       ω
        Ñðàâíèì l ñ äëèíîé âîëíû λ :
                                      l g k
                                         ≈     s 0T .                         (6.26)
                                      λ λω
        Ó÷òåì, ÷òî ω / k = c , λ = cT , c 0 = gH — ñêîðîñòü âîëí ìåëêîé âîäû. Òîãäà
                                        l c 02 s 0
                                         ≈         .                              (6.27)
                                        λ c2 H
        Äëÿ ìåëêîé âîäû c = c 0 , è
                                   l s0
                                     =     << 1 .                                (6.28)
                                   λ H
        Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå λ ~ H , òî l ~ s0 , ò.å. âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì àìïëèòóäû
âîëíû s 0 . Íî òàê êàê s0 << H , òî àìïëèòóäà ãîðèçîíòàëüíûõ êîëåáàíèé l << λ .
 s
                                                l

 0
                                                                                     x
                                                     C B          A

                                                               2l




H

z
                                         Ðèñ. 6.5.

Страницы